Εστω Η υποομάδα ομάδας G. Ορίζεται σχέση ισοδυναμίας ~ στο G με : a ~ b ανν a^-1b H.

H κλάση ισοδυναμίας του a ισούται με το { ah : a H }, που συμβολίζεται με aH (προσθετικός συμβολισμός a+H) και λέγεται το αριστερό σύμπλοκο της H στην G που περιέχει το a. To πλήθος όλων των αριστερών συμπλόκων λέγεται ο δείκτης της Η στην G και συμβολίζεται με (G : H).

Θεώρημα 10.1. Αν η ομάδα G είναι πεπερασμένη, τότε = (G : H) .

Πόρισμα 10.1. Η τάξη στοιχείου a πεπερασμένης ομάδας G διαιρεί την τάξη της G.

Πόρισμα 10.2. Aν η τάξη ομάδας G είναι πρώτος αριθμός, τότε η G είναι κυκλική.

10.1. Bρείτε όλα τα αριστερά σύμπλοκα της Η = <3> στην Ζ₆.

Λύση

10.2. Bρείτε όλα τα αριστερά σύμπλοκα της Η = <2> στην Ζ₆.

Λύση

10.3. Bρείτε όλα τα αριστερά σύμπλοκα της Η = <6> στην Ζ₇^*.

Λύση

10.4. Bρείτε όλα τα αριστερά σύμπλοκα της Η = 8Ζ στην 2Ζ.

Λύση

10.5. Εστω Η υποομάδα ομάδας G. Στο G ορίζεται σχέση R με a R b ανν ab^-1 H. Δείξτε ότι

(ι) η R είναι σχέση ισοδυναμίας

Λύση

(ιι) H κλάση ισοδυναμίας του a ισούται με το Ηa = { ha : a H }. (To Ha λέγεται το δεξιό σύμπλοκο της H στην G που περιέχει το a.)

Λύση

10.6. Εστω Η υποομάδα ομάδας G και a, b στοιχεία της G. Δείξτε ότι

(1) aH = bH b aH.

(2) aH = bH Ha^-1 = Hb^-1.

10.7. Εστω G ομάδα της οποίας η τάξη είναι το γινόμενο δύο πρώτων αριθμών p, q. Δείξτε ότι κάθε γνήσια υποομάδα της G είναι κυκλική.

Λύση

10.8. Εστω Η υποομάδα ομάδας G και a στοιχείο της G. Δείξτε ότι = .

Λύση

10.9. Δείξτε ότι το πλήθος των δεξιών συμπλόκων υποομάδας Η πεπερασμένης ομάδας G, [G : H], ισούται με (G : H).

Λύση

10.10. Εστω Η υποομάδα με δείκτη 2 σε μια ομάδα G και a στοιχείο της G. Δείξτε ότι aH = Ha.

Λύση