Το ευθύ γινόμενο ομάδων G, H είναι το σύνολο G H εφοδιασμένο με την πράξη που ορίζει η φόρμουλα:  

(x₁, x₂) . (y₁, y₂) = (x₁.y₁, x₂.y₂)

Θεώρημα 14.1. Το G H είναι ομάδα. Μάλιστα, αν G και H είναι αβελιανές ομάδες, τότε και η G H είναι αβελιανή.

Θεώρημα 14.2. Αν μκδ(m, n) = 1, τότε Ζ_m Z_n ~ Z_mn.

Ομοίως ορίζεται το πιο γενικό ευθύ γινόμενο G₁ G₂ … G_n ομάδων G₁, G₂, … , G_n, το οποίο είναι πάντοτε ομάδα. Μάλιστα είναι αβελιανή ομάδα αν ολοι οι παράγοντες είναι αβελιανές ομάδες.

Η <Rⁿ, +> είναι το ευθύ γινόμενο n αντιτύπων της <R, +>.

14.1. Δείξτε ότι Ζ₂ Z₂ ~ V.

Λύση

14.2. Εστω φ : G ® Η μονομορφισμός και a G. Δείξτε ότι .

Λύση

14.3. Δείξτε ότι η Ζ₃ Z₃ δεν είναι ισομορφική με την Z₉.

Λύση

14.4. Δείξτε ότι οι Ζ₂ Z₂ Z₂, Ζ₂ Z₄, Z₈ και D₄ ανήκουν σε διαφορετικές κλάσεις ισομορφίας.

Λύση

14.5. Δείξτε ότι η συνάρτηση φ : G H ® G, η οποία στέλνει το (x, y) στο x, είναι επιμορφισμός. Η φ λέγεται η προβολή του γινομένου στο G.

Λύση

14.6. Δείξτε ότι η συνάρτηση φ : G ® G H, η οποία στέλνει το x στο (x, e) είναι μονομορφισμός.

Λύση