15.10. Εστω g G, h A. Αρκεί να δείξω ghg^-1 Α.

           Εξετάζω το υποσύνολο Β = { gxg^-1 : x A } της G. Eχω:

           (1) α, β Β α = gxg^-1, β = gyg^-1, όπου x, y A xy A 

           (αφού η Α είναι υποομάδα)

           και αβ = gxyg^-1 B.

           (2) e = geg^-1 B, αφού η Α είναι υποομάδα και έτσι e A.

           (3) α Β α = gxg^-1, όπου x A x^-1 A ( αφού η Α είναι υποομάδα)

           και α^-1 = gx^-1g^-1 B.

           Ετσι η Β είναι υποομάδα της G. Η συνάρτηση φ : Α ® Β, όπου φ(x) = gxg^-1είναι 1-1 και επί (βλέπε 15.9.). 

           Αρα και η Β είναι τάξεως m. Από τα δεδομένα, Α = Β.

           Τώρα, από το γεγονός ότι h A , έχω ghg^-1 Β, άρα ghg^-1 Α. Ο.ε.δ.

Επιστροφή

Επιστροφή στα Περιεχόμενα