Μια υποομάδα H ομάδας G λέγεται κανονική υποομάδα αν g G, h H ghg^-1 H.

Θεώρημα 15.1. Κάθε υποομάδα αβελιανής ομάδας είναι αβελιανή.

Θεώρημα 15.2. H A_n είναι κανονική υποομάδα της S_n.

Ο πυρήνας ομομορφισμού φ : G ® H είναι το σύνολο Kerφ = { g G : φ(g) = e }.

Θεώρημα 15.3. Ενας ομομορφισμός φ : G ® H είναι μονομορφισμός ανν Kerφ = { e }.

Θεώρημα 15.4. Ο πυρήνας Kerφ ομομορφισμού φ : G ® H είναι κανονική υποομάδα της G.

Θεώρημα 15.5. Για μια υποομάδα H ομάδας G, τ.α.ε.ι.

(1) Η Η είναι κανονική υποομάδα της G.

(2) gH = Hg για κάθε g G.

(3) Για κάθε g G και h H, υπάρχει h₁ H με gh =h₁g.

15.1. Δείξτε ότι η υποομάδα Η = <(1, 2)> της S₃ δεν είναι κανονική.

Λύση

15.2. Δείξτε ότι η υποομάδα Η = <(1, 2, 3)> της S₃ είναι κανονική.

Λύση

15.3. Κάθε υποομάδα Η ομάδας G με (G : H) = 2 είναι κανονική. Βλέπε άσκηση 10.10.

Λύση

15.4. Βρείτε τους πυρήνες των ομομορφισμών των ασκήσεων 12.5 - 12.6.

Λύση

15.5. Βρείτε τους πυρήνες των ομομορφισμών των ασκήσεων 14.5 και 14.6.

Λύση

15.6. Η φ : S_n ® Z₂ στέλνει τις άρτιες μεταθέσεις στο 0 και τις περιττές στο 1. Δείξτε ότι η φ είναι ομομορφισμός.

Λύση

15.7. Εστω G, H υποομάδες ομάδας S. Δείξτε ότι η τομή G H είναι υποομάδα της S.

Λύση

15.8. Εστω G, H κανονικές υποομάδες ομάδας S. Δείξτε ότι η τομή G H είναι κανονική υποομάδα της S.

Λύση

15.9. Εστω a στοιχείο ομάδας G. Δείξτε ότι η φ : G ® G που στέλνει το x στο axa^-1 είναι ισομορφισμός.

Λύση

15.10. Εστω G ομάδα η οποία έχει μόνο μια υποομάδα τάξεως m, την Α. Δείξτε ότι η Α είναι κανονική υποομάδα της G.

Λύση