Εστω G, H ομάδες. Μια συνάρτηση φ : G ® H λέγεται ομομορφισμός ομάδων αν για όλα τα στοιχεία x, y της G, ισχύει φ(x y) = φ(x) φ(y).

Με περισσότερη σαφήνεια, πρέπει να ισχύει : φ(x _* y) = φ(x) _° φ(y), όπου _* είναι η πράξη της G και η πράξη της Η.

Θεώρημα 12.1. Εστω φ : G ® H ομομορφισμός ομάδων. Εστω e₁, e₂ τα ταυτοτικά στοιχεία των G, H, αντίστοιχα. Τότε

(1) φ(e₁) = e₂

(2) φ(x^-1) = (φ(x))^-1, " x G

(3) φ(xⁿ) = (φ(x))ⁿ, " x G και " n N

(4) φ(xⁿ) = (φ(x))ⁿ, " x G και " n Z.

Θεώρημα 12.2. Εστω φ : G ® H επιμορφισμός ομάδων. Αν η G είναι αβελιανή, τότε και η H είναι αβελιανή. Αν η G είναι κυκλική, τότε και η H είναι κυκλική.

Θεώρημα 12.3. Εστω φ : G₁ ® G₂ και ψ : G₂ ® G₃ ομομορφισμοί ομάδων. Τότε και η σύνθεσή τους ψφ είναι ομομορφισμός. Αν φ και ψ είναι μονομορφισμοί ή επιμορφισμοί ή ισομομορφισμοί, το ίδιο ισχύει για την ψφ.

Θεώρημα 12.4. Εστω φ : G ® H ισομορφισμός ομάδων. Τότε και η αντίστροφη συνάρτηση φ^-1 : Η ® G είναι ισομορφισμός ομάδων.

Γράφουμε G ~ H αν υπάρχει ισομορφισμός ομάδων φ : G ® H.

Θεώρημα 12.5. Η ~ είναι σχέση ισοδυναμίας.

Αν G ~ H οι δύο ομάδες G, H λέγονται ισομορφικές. Η Αλγεβρα δεν διακρίνει μεταξύ δύο ισομορφικών ομάδων γιατί έχουν τις ίδιες αλγεβρικές ιδιότητες. Π.χ.(1) έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, (2) αν η μια είναι αβελιανή ή κυκλική το ίδιο ισχύει και για την άλλη.

Θεώρημα 12.6. Δύο άπειρες κυκλικές ομάδες είναι ισόμορφες.

Πόρισμα 12.1. Η μόνη άπειρη κυκλική ομάδα είναι η Ζ.

Θεώρημα 12.7. Δύο πεπερασμένες κυκλικές ομάδες της ίδιας τάξης είναι ισoμορφικές.

Πόρισμα 12.2. Η μόνη κυκλική ομάδα ταξεως n είναι η Ζ_n.

12.1. Δείξτε ότι η φ : Ζ ® Ζ_n, όπου φ(x) =, είναι oμομορφισμός.

Λύση

12.2. Δείξτε ότι η φ : R ® R⁺_, όπου φ(x) = e^x, είναι ομομορφισμός.

Λύση

12.3. Δείξτε ότι η φ : R ® R^*_, όπου φ(x) = 2^x, είναι ομομορφισμός.

Λύση

12.4. Ποιες από τις παραπάνω συναρτήσεις είναι:

ή

(3) ισομορφισμοί ;

Λύση

12.5. Ποιες από τις συναρτήσεις φ, ψ, ω : R ® R, όπου φ(x) = 3x + 2, ψ(x) = 4x και ω(x) = x², είναι oμομορφισμοί, μονομορφισμοί, επιμορφισμοί ή ισομορφισμοί ;

Λύση

12.6. Είναι η φ : R^* ® R^*_, όπου φ(x) = | x| , είναι ομομορφισμός;

Λύση

12.7. Είναι η φ : R ® R, όπου φ(x) = | x| , είναι ομομορφισμός;

Λύση

12.8. Πόσες ομάδες τάξεως 1, 2, 3, 5 ή 7 υπάρχουν ;

Λύση

12.9. Εστω G = { e, x, y, z } μη κυκλική ομάδα ταξεως 4.

12.10. Πόσες ομάδες ταξεως 4 υπάρχουν ;

Λύση

12.11. Πόσοι ομομορφισμοί Ζ₇ ® Ζ₅ υπάρχουν ;

Λύση

12.12. Εστω G, H ομάδες με G = <a> κυκλική τάξεως i. Δείξτε ότι

(1) αν φ : G ® H είναι ομομορφισμός, τότε φ(a)ⁱ = e.

(2) για κάθε στοιχείο b της H με bⁱ = e, η φόρμουλα φ(aⁿ) = bⁿ, n N, ορίζει ομομορφισμό φ : G ® H.

12.13. Βρείτε όλους τους ομομορφισμούς Ζ₁₂ ® Ζ₃ .

Λύση

12.14. Βρείτε όλους τους ομομορφισμούς Ζ₁₆ ® Ζ₂₄.

Λύση

12.15. Βρείτε όλους τους ομομορφισμούς Ζ₁₀ ® Ζ₁₆.

Λύση

12.16. Αν η φ : G ® G που στέλνει το g στο g² είναι ομομορφισμός ομάδων, δείξτε . ότι η G είναι αβελιανή.

Λύση