16.12.2. Από το θεώρημα Lagrange, η Η = <α> είναι υποομάδα της G με (G : H) = 2.

           Αρα είναι κανονική υποομάδα και έχει νόημα η ομάδα πηλίκο G / H, οποία έχει τάξη 2.

             Αρα β²Η = (βΗ)² = Η. Αυτό σημαίνει ότι το β² είναι μέλος της Η = { e, α, α² }.

             Αν β² = α, τότε το β³ = βα (επειδή α^-1 = α²) e, και προκύπτει ότι το β έχει τάξη 6

             και η G είναι κυκλική! Αρα β² α, και ομοίως β² α². Ετσι αναγκαστικά β² = e.

             Για τον ίδιο λόγο, (αβ)² = αβαβ = e. Aρα βαβ = α².

            Τώρα εύκολα ελέγχεται ότι e, α, α², β, αβ, α²β είναι 6 διακεκριμένα στοιχεία της G

            (π.χ. αβ = α β = e, αβ = α²β α = e!). 

            Επεται ότι G = { e, α, α², β, αβ, α²β }.

Επιστροφή

Επιστροφή στα Περιεχόμενα