16.13. Εστω Η ομάδα τάξεως 6. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:
(1) Η Η είναι κυκλική, άρα ισομορφική με την Ζ6.
(2) Η Η δεν είναι κυκλική, όπως η G της 16.2. Τότε η Η έχει ένα στοιχείο
a τάξεως 3 και ένα στοιχείο b τάξεως 2, bab = a2 και Η = { e, a, a2, ab, a2b }.
Οπως στην 16.12, από αυτά τα δεδομένα μπορούμε να κάνουμε τον
πίνακα πολλαπλασιασμού της Η. Προφανώς ο πίνακας της Η είναι αυτός
που προκύπτει αν στον πίνακα της G τυφλά αντικαταστήσουμε το α με το
a και το β με το b. Αυτό σημαίνει ακριβώς ότι η συνάρτηση G ® H
που στέλνει τα e, α, α2, β, αβ, α2β στα e, a, a2, ab, a2b, αντίστοιχα, είναι
ισομορφισμός!
Εχουμε δείξει ότι κάθε μη κυκλική ομάδα τάξεως 6 είναι ισομορφική με
κάθε άλλη τέτοια ομάδα. Μια τέτοια ομάδα είναι η S3.
Προκύπτει ότι οι μόνες ομάδες τάξεως 6 είναι η Ζ6 και η S3.