, άρα και η
φ(Α) .16.15.1. Επειδή
η Α είναι ομάδα,
τότε Α
, άρα και η
φ(Α) .
Εστω τώρα α, β 
φ(Α). Υπάρχουν x, y
A με α = φ(x) και
β = φ(y).
Επειδή η Α
είναι
υποοομάδα της G,
xy-1
A, και
επειδή η φ
είναι
ομομορφισμός,
αβ-1 = φ(xy-1)
φ(Α).
Από την άσκηση 7.5, η φ(Α) είναι υποομάδα της Η.