Εστω < S, +, . > δακτύλιος. Ένα υποσύνολο T του S λέγεται υποδακτύλιος του S αν είναι κλειστό ως προς + και . και το < Τ, +, . > αποτελεί δακτύλιο.

Θεώρημα 18.1. Ένα υποσύνολο T είναι υποδακτύλιος δακτυλίου S ανν

(ι) Τ είναι κλειστό ως προς + και . και (ιι) το < Τ, + > είναι υποομάδα της < S, + >.

Θεώρημα 18.2. Ένα υποσύνολο T είναι υποδακτύλιος δακτυλίου S ανν

(ι) Τ είναι κλειστό ως προς + και ., (ιι) 0 Τ και (ιιι) x Τ - x Τ.

Παραδείγματα υποδακτυλίων του F(R):

(ι) P(R), το σύνολο όλων των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές.

(ιι) C(R), το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων f : R ® R.

(ιιι) D(R), το σύνολο όλων των διαφορίσιμων συναρτήσεων f : R ® R.

Εστω S₁, S₂, … , S_n δακτύλιοι. Το καρτεσιανό γινόμενο S₁ S₂ … S_n, μετατρέπεται σε δακτύλιο αν ορίσουμε + και . μέσω των

(x_1, x₂, … , x_n) + (y_1, y₂, … ,y_n) = (x₁ + y_1, x₂ + y₂, … , x_n + y_n)

(x_1, x₂, … , x_n) . (y_1, y₂, … ,y_n) = (x₁ . y_1, x₂ . y₂, … , x_n . y_n).

Aν όλοι οι παράγοντες είναι αντιμεταθετικοί ή έχουν μοναδιαίο στοιχείο το ίδιο ισχύει και για το γινόμενο.

18.1. Δείξτε ότι το Ζ(i) = { m + ni : m, n Z } είναι υποδακτύλιος του C.

Λύση

18.2. Δείξτε ότι το Ζ () = { k + m : k, m Ζ } είναι υποδακτύλιος του C, για κάθε ακέραιο n.

Λύση

18.3. Ποια από τα στοιχεία του Ζ₂ Ζ₂ έχουν αντίστροφο ως προς τον πολλαπλασιασμό;

Λύση

18.4. Δείξτε ότι το γινόμενο δύο σωμάτων S, T δεν είναι σώμα.

Λύση