22.11. Στο Ζ3, f(0) = 2, f(1) = 2, f(2) = 1 και το f(x) = x4 + x3 + x + 2
δεν έχει γραμμικούς παράγοντες.
Ετσι, αν είναι αναγώγιμο, γράφεται ως το γινόμενο δύο πολυωνύμων
δευτέρου βαθμού.
Λαμβάνοντας υπόψη το συντελεστή του x4, θα γράφεται:
x4 + x3 + x + 2 = (x2 + αx + β)(x2 + γx + δ)
Τώρα, θέτοντας x = 0, βλέπω ότι βδ = 2. Οι μονες λύσεις είναι β = 1 και δ = 2
ή β = 2 και δ = 1. Ετσι η πιο γενική λύση είναι:
x4 + x3 + x + 2 = (x2 + αx + 1)(x2 + γx + 2)
Συγκρίνοντας συντελεστές των x3, x2 και x : 1 = α + γ, αγ = 0 (οπότε α ή γ = 0),
και 2α + γ = 1. Η μόνη λύση είναι: α = 0 και γ = 1. Πράγματι,
x4 + x3 + x + 2 = (x2 + 1)(x2 + x + 2)
όπου τα (x2 + 1), (x2 + x + 2) είναι ανάγωγα γιατί είναι δευτέρου βαθμού
και δεν έχουν ρίζες στο Ζ3.
Δεν έχουν ρίζες γιατί κάθε ρίζα τους είναι ρίζα και του f(x).