J είναι
ιδεώδη του S, όπου
Ι + J = { a + b : a 
I, b J }.
Ενα υποσύνολο Η δακτυλίου
S λέγεται ιδεώδες του S αν (ι) < Η, + > είναι υποομάδα της < S, + > και (ιι) για όλα τα μέλη h του H και όλα τα μέλη s του S, τα στοιχεία hs και sh ανήκουν στο Η.
Θεώρημα 22.1
. Κάθε ιδεώδες Η δακτυλίου S είναι υποδακτύλιος.. Εστω Η μη κενό υποσύνολο αντιμεταθετικού δακτυλίου S με 1. Τότε το H είναι ιδεώδες του S ανν λa + μb
H όποτε a, b
H και λ, μ
S.
Θεώρημα 22.3
. Για κάθε μέλος a αντιμεταθετικού δακτυλίου S με 1, το σύνολο <a> = { sa : s S } είναι
ιδεώδες του S.
To <α>, το οποίο αποτελείται από όλα τα πολλαπλάσια του a, λέγεται το κύριο ιδεώδες με γεννήτορα το a ή το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το a.
Λήμμα 22.1
. Σε ακέραια περιοχή D, τ.α.ε.ι. (ι) <a>
<b>, (ιι)
a <b>, (ιιι)
b½ a.
Λήμμα 22.2
. Σε ακέραια περιοχή D, τ.α.ε.ι. (ι) <a> = <b>, (ιι) a, b είναι ισοδύναμα.
Μια ακέραια περιοχή
D λέγεται περιοχή κυρίων ιδεωδών (ΠΚΙ) αν κάθε ιδεώδες της D είναι κύριο ιδεώδες.
Θεώρημα 22.4
. Κάθε Ευκλείδεια περιοχή D είναι ΠΚΙ.
Σημείωση: Υπάρχουν ΠΚΙ που δεν είναι Ευκλείδειες περιοχές, δεν υπάρχει όμως τετριμμένο παράδειγμα.
Για το υπόλοιπο του παρόντος κεφαλαίου, D συμβολίζει μια ΠΚΙ.
. Έστω a, b μέλη της D. Τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον μκδ(a, b) και κάθε μκδ(a, b) γράφεται στη μορφή λa + μb για κάποια μέλη λ, μ της D.
Αν το 1 είναι ένας μκδ(
a, b), τα a, b λέγονται σχετικά πρώτα.
Λήμμα.22.3
. a, b είναι σχετικά πρώτα στοιχεία της D ανν λa + μb = 1 για κάποιa μέλη λ, μ της D.
Λήμμα 22.4
. Ενας πρώτο στοιχείο p του D διαιρεί ένα στοιχείο a ή μκδ(a, p) = 1.
Λήμμα
22.5. μκδ(a, b) = 1, a½ bc
a½
c.
Λήμμα
22.6. p πρώτο, p½ ab
p½
a ή p½ b.
Λήμμα 22.7
. Αν ένα πρώτο στοιχείο διαιρεί το γινόμενο μελών του D, τότε διαιρεί ένα από αυτά τα μέλη.. Αν ένα πρώτο διαιρεί το γινόμενο πρώτων, τότε είναι ισοδύναμο με ένα από αυτά.
Θεώρημα 22.6
. Εστω Η1, Η2, Η3, … ιδεώδη της D με
Τότε
για κάποιο
φυσικό αριθμό n,
Ηn = Ηn+1
= Ηn+2 = …
Θεώρημα 22.7
. Κάθε στοιχείο a του D που δεν είναι 0 ή μονάδα διαιρείται από ένα τουλάχιστον πρώτο στοιχείο.. (Θεώρημα μοναδικής παραγοντοποίησης). Εστω a στοιχείο του D που δεν είναι 0 ή μονάδα. Toτε:
(ι) το a ισούται με το γινόμενo κάποιων πρώτων p1, p2, …., pn.
(ιι) αν το a επίσης ισούται με το γινόμενo κάποιων άλλων πρώτων q1, q2, …., qm, τότε n = m και κάθε pi είναι ισοδύναμο με κάποιο qj.
Ετσι, με την προϋπόθεση ότι δύο ισοδύναμα στοιχεία ταυτίζονται
, το a έχει μοναδική ανάλυση (ή παραγοντοποίηση) σε πρώτα στοιχεία!
Πόρισμα 21.1
. Κάθε μη σταθερό πολυώνυμο με συντελεστες σε σώμα F έχει μοναδική ανάλυση σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων.
Aσκήσεις
22.1. Το nΖ είναι ιδεώδες του Ζ;
22.2. Το Ζ είναι είναι υποδακτύλιος του Q; Είναι ιδεώδες του Q;
22.3. Εστω S δακτύλιος με 1 και Η ιδεώδες του S που περιέχει το 1. Δείξτε ότι Η = S.
22.4. Πόσα ιδεώδη έχει ένα σώμα F;
22.5. Στις ασκήσεις 21.6 και 21.7, γράψτε τους μκδ των f(x), g(x)) στην μορφή
λ(x)f(x) + μ(x)g(x).
22.6. Βρείτε το (πολλαπλασιαστικό) αντίστροφο του 26 στο Ζ59.
22.7. Βρείτε το αντίστροφο του 26 στο Ζ139.
22.8. Αναλύστε το f(x) = x4 + 4x2 + 3 σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων στην R[x].
22.9. Αναλύστε το f(x) = x4 + 4x2 + 3 σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων στην C[x].
22.10. Ισχύει το θεώρημα μοναδικής παραγοντοποίησης για τον Ζ8[x]; Εξετάστε
το x2 – 1.
22.11. Αναλύστε το f(x) = x4 + x3 + x + 2 σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων στο Ζ3[x].
Εστω
a, b στοιχεία δακτυλίου. Ενα κοινό πολλαπλάσιο των a, b (κπ(a, b)) το οποίο διαιρεί κάθε κπ(a, b) λέγεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a, b (εκπ(a, b)). Δύο εκπ(a, b) είναι προφανώς ισοδύναμα.. Από την επόμενη άσκηση και το θεώρημα 22.5. προκύπτει ότι δύο στοιχεία μιας ΠΚΙ έχουν πάντοτε εκπ.22.12. Σε μια ΠΚΙ D, έστω d μκδ μη μηδενικών στοιχείων a, b και ab = cd. Δείξτε ότι:
(ι) το c είναι εκπ(a, b) και
(ιι) kd είναι μκδ(ka, kb) και kc εκπ(ka, kb), για κάθε στοιχείο k του D.
22.13. Βρείτε τα εκπ των f(x) = x4 + 4x2 + 3 και g(x) = x3 + x2 + x + 1 στην R[x].
22.14. Βρείτε τα εκπ των f(x) = x4 + 4x2 + 3 και g(x) = x3 + x2 + x + 1 στην Ζ2[x].
22.15. Εστω S
αντιμεταθετικός
δακτύλιος με 1
και Ι, J ιδεώδη
του S. Δείξτε
ότι τα I + J και
I J είναι
ιδεώδη του S, όπου
Ι + J = { a + b : a
I, b J }.
22.16. Bρείτε
γεννήτορες για
τα ιδεώδη I + J και
I J του
Ζ, όπου I
= <600> και
J = <252>.
22.17. Δείξτε
ότι το
υποσύνολο H = { 2 f(x) + x
g(x) : f(x), g(x) Ζ[x]
} είναι
ιδεώδες του Ζ[x],
αλλά όχι
κύριο ιδεώδες.
Ετσι το Ζ[x] είναι
ακέραια
περιοχή, αλλά
όχι ΠΚΙ.
22.18. Βρείτε
όλες τις
μονάδες των Ζ(i)
και Z(
).
(Βλέπε
ασκήσεις 18.1 και
18.2)
22.19. Δείξτε
ότι 2, 3, 1 + και
1 -
είναι
πρώτοι στο Z().
Να
συμπεράνετε
ότι η ακέραια
περιοχή Z()
δεν είναι
ΠΚΙ.
Επιστροφή στα περιεχόμενα