),22.19. Εστω
ότι στην
ακέραια
περιοχή Ζ(),
(a + b)(c + d)
= 1 +.
Παίρνοντας το τετράγωνο της απόλυτης τιμής, έχουμε:
(a2 + 5b2).(c2 + 5d2) = 1 + 5 = 6.
Αφού οι a, b, c, d είναι ακέραιοι, οι δυνατές τιμές για τους (a2 + 5b2) και (c2 + 5d2)
είναι 1 για τον ένα και 6 για τον άλλο. Προκύπτει ότι οι μόνες δυνατότητες για το
ζεύγος
διαιρετών a + b,
c + d
του 1 +
είναι
να είναι
ο ένας 1, οπότε ο άλλος
θα είναι 1 +,
ή να είναι ο
ένας - 1, οπότε
ο άλλος θα
είναι - (1 +).
Ετσι ο 1 +
είναι πρώτος.
Ομοίως, οι 2, 3 και 1 -
είναι πρώτοι.
Στην
Ζ(),
6 = 2.3 = (1 +)(1
- )
και οι
πρώτοι 2, 3 , 1 +,
1 -
είναι ανά δύο
μή ισοδύναμοι.
Από το λήμμα
22.8. (ή το θεώρημα
22.8.) η
ακέραια
περιοχή Ζ()
δεν είναι ΠΚΙ.