22.12. (ι) Προφανώς, d = μκδ(a, b) 0 και b = kd για κάποιο k της D. 

           Αφού ab = cd, έχω akd = cd.

           Αφού η D είναι ακέραια περιοχή και d 0, αυτό συνεπάγεται ak = c. 

           Ομοίως, b½ c.

           Θεωρώ τώρα τυχαίο κπ f των a, b. Μένει να δείξω c½ f. 

           Τώρα, ab½ af, και ab½ bf .

           Αφού από το θεώρημα 22.5, d = λa + μb, όπου λ, μ D, 

           τότε df = λaf + μbf .

           Επεται ότι το ab = cd διαιρεί το df. Ετσι, df = dcm, για κάποιο m στο D. 

           Αρα, f = cm. Ο.ε.δ.

           (ιι) Ισχύει αν k = 0. Ετσι υποθέτω k 0. 

           Προφανώς, το kd είναι κδ(ka, kb).

           Εστω m ένας άλλος κδ(ka, kb). Αφού d = λa + μb, όπου λ, μ D, 

           τότε kd = λka + μkb

           και m½ kd. Αρα το kd είναι ένας μκδ(ka, kb).

           Τώρα ισχύει (ka)(kb) = (kc)(kd), και από την (ι) συμπεραίνουμε ότι 

           το kc είναι εκπ(ka, kb).

Επιστροφή

Επιστροφή στα Περιεχόμενα