index21

21. Πολυώνυμα και Ευκλείδειες περιοχές

Ενα πολυώνυμο p(x) με συντελεστές σε δακτύλιο S είναι μια “τυπική εκφραση” της μορφής

p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …

οπου τα a₀, a₁, a₂,a₃, … είναι στοιχεία του S και για κάποιο ακέραιο n ³ 0, a_n = a_n+1= a_n+2= a_n+3 … = 0. Τα a₀, a₁, a₂,a₃, … λέγονται οι συντελεστές του p(x).

Σημείωση: Ο προσδιορισμός “τυπική εκφραση” στον ορισμό σημαίνει ακριβώς ότι δύο πολυώνυμα με συντελεστές a₀, a₁, a₂,a₃, … και b₀, b₁, b₂,b₃, …, αντίστοιχα, θεωρούνται ίσα ανν a_n = b_n, για κάθε n ³ 0.

Ένα πολυώνυμο p(x) με συντελεστές a₀, a₁, a₂, …,a_n, 0, 0, 0, …., γράφεται και στη μορφή

p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ

O βαθμός του p(x), deg(p(x), ορίζεται ως εξής: Αν p(x) = 0, deg(p(x)) = 0. Aν p(x) 0, τότε deg(p(x)) είναι ο τελευταίος n με a_n 0.

S[x] συμβολίζει το σύνολο όλων των πολυωνύμων με συντελεστές σε δακτύλιο S. Στο S[x] οριζονται πράξεις +, . ως εξής: Εστω p(x) και q(x) μέλη του S[x] με συντελεστές a₀, a₁, a₂, … και b₀, b₁, b₂,…, αντίστοιχα. Τοτε:

(ι) το p(x) + q(x) είναι το πολυώνυμο με n-οστό συντελεστή τον a_n + b_n.

(ιι) το p(x) . q(x) είναι το πολυώνυμο με n-οστό συντελεστή τον

Θεώρημα 21.1. Το < S[x], +, . > είναι δακτύλιος για κάθε δακτύλιο S.

Θεώρημα 21.2. Εστω D ακέραια περιοχή. Τοτε ο D[x] είναι ακέραια περιοχή και για όλα τα μέλη του p(x) και q(x) ισχύει

deg(p(x)q(x)) = deg(p(x)) + deg(q(x)).

Θεώρημα 21.3. (Aλγόριθμος διαίρεσης). Εστω F σώμα και f(x), g(x) μέλη του F[x] με g(x) 0. Τότε υπάρχουν μοναδικά q(x) και r(x) στο F[x] τ.ω.

f(x) = q(x)g(x) + r(x) και r(x) = 0 ή deg(r(x)) < deg(g(x)).

Ευκλείδεια εκτίμηση σε ακέραια περιοχή S λέγεται μια συνάρτηση d : S – {0}® {0, 1, 2, … } που ικανοποιεί

(ι) d(a) £ d(ab) για a και b 0

(ιι) για οποιαδήποτε στοιχεία a, b του S με b 0, υπάρχουν στοιχεία q, r στο D τ.ω

a = qb + r και r = 0 ή d(r) < d(b).

Μια ΑΠ που μπορεί να εφοδιαστεί με μια ευκλείδεια εκτίμηση λέγεται Ευκλείδεια περιοχή. Σε Ευκλείδεια περιοχή, υπάρχει ένας τουλάχιστον μκδ στοιχείων a, b γιατι υπαρχουν στοιχεία q₁, q₂, …, q_n+1,r₁, r₂, …, r_n που ικανοποιούν το θεώρημα 20.5.!

Παραδείγματα Ευκλειδείων περιοχών: Ζ, F[x] για κάθε σώμα F.

Εστω p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ πολυώνυμο με συντελεστές σε δακτύλιο S και s στοιχείο του S. Το στοιχείο a₀ + as + a₂s² + … + a_nsⁿ του S λέγεται η τιμή του p(x) στο s και συμβολίζεται με p(s). To s λέγεται ρίζα του p(x) αν p(s) = o.

Είναι συνέπεια του ορισμού των πράξεων στον S[x] ότι, για δεδομένο στοιχείο s του S, η συνάρτηση S[x] ® S που στέλνει κάθε p(x) S[x] στο p(s) S είναι ομομορφισμός δακτυλίων.

Για το υπόλοιπο του παρόντος κεφαλαίου, F συμβολίζει ένα σώμα.

Θεώρημα 21.4. Eστω a μέλος του F και f(x) μέλος του F[x].

Τότε το x – a διαιρεί το f(x) ανν το a είναι ρίζα του f(x).

Θεώρημα 21.5. Ενα μέλος f(x) του F[x] βαθμού n ³ 1 έχει το πολύ n ρίζες στο F.

Ενα πρώτο στοιχείο f(x) του F[x] λέγεται ανάγωγο πολυώνυμο πάνω από το F. Ενα μέλος f(x) του F[x] βαθμού n ³ 1 που δεν είναι πρώτο λέγεται αναγώγιμο πάνω από το F.

Θεώρημα 21.6. Στο F[x], ένα πολυώνυμο f(x) βαθμού n ³ 1 είναι αναγώγιμο ανν είναι το γινόμενο δύο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού.

Θεώρημα 21.7. Ένα μέλος f(x) του F[x] πρώτου βαθμού είναι ανάγωγο.

Θεώρημα 21.8. Κάθε μέλος f(x) του F[x] βαθμού ³ 2 που έχει μια ρίζα στο F είναι αναγώγιμο.

Θεώρημα 21.9. Ένα μέλος f(x) του F[x] βαθμού 2 ή 3 είναι αναγώγιμο ανν έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο F.

Aσκήσεις

21.1. Ποιες είναι οι μονάδες του F[x], όπου F είναι σώμα;