Εστω S δακτύλιος με 1. Tα μέλη του S που έχουν αντίστροφο στο S ως προς τον πολλαπλασιασμό λέγονται μονάδες του S. U(S) συμβολίζει το σύνολο όλων των μονάδων του S.

Θεώρημα 20.1. Eστω S δακτύλιος με 1. Τότε το U(S) σχηματίζει ομάδα ως προς τον πολλαπλασιασμό.

Ενας δακτύλιος D λέγεται ακέραια περιοχή (ΑΠ) αν ο D είναι αντιμεταθετικός, έχει 1, και στον D ισχύει η συνεπαγωγή a.b = 0 a = 0 ή b = 0.

Παραδείγματα: Ζ και κάθε σώμα F είναι ΑΠ.

Θεώρημα 20.2. Σε ακέραια περιοχή D ισχύουν οι εξής κανόνες διαγραφής.

(ι) a 0, a.b = a.c b = c

 (ii) a 0, b.a = c.a b = c.

Θεώρημα 20.3. O δακτύλιος Ζ_n είναι ΑΠ ανν n είναι πρώτος.

Διαιρετότητα σε ακέραια περιοχή.

Για το υπόλοιπο του παρόντος κεφαλαίου, D συμβολίζει μια ΑΠ.

Αν a = bc, όπου a, b, c είναι μέλη της D, τότε λέμε ότι το b διαιρεί το a ή ότι το a είναι πολλαπλάσιο (ή παράγοντας) του b, και γράφουμε b½ a. Oι μονάδες διαιρούν όλα τα στοιχεία, και όλα τα στοιχεία διαιρουν το 0. Μόνο οι μονάδες διαιρούν το 1.

Λήμμα 20.1. a½ b, b½ c a½ c.

Λήμμα 20.2. " a, b, λ, μ D, c ½ a, c½ b c ½ λa + μb.

Aν a½ b και b½ a, τα a, b λέγονται ισοδύναμα.

Λήμμα 20.3. a, b ισοδύναμα a = bu για κάποια μονάδα u.

Λήμμα 20.4. a, b ισοδύναμα, a½ c b½ c.

Λήμμα 20.5. a, b ισοδύναμα, c½ a c½ b.

Ένα στοιχείο p της D λέγεται πρώτο αν (ι) ο p δεν ειναι 0 ή μονάδα, και (ιι) οι μόνοι διαιρέτες του p είναι οι μονάδες και τα ισοδύναμα με το p στοιχεία της D.

Eστω a, b, d D. Ο d λέγεται (ένας) μέγιστος κοινός διαιρέτης των a, b (και γράφουμε d μκδ(a, b)) αν ισχύουν οι δύο συνθήκες :

(1) d½ a και d½ b

(2) c½ a, c½ b c½ d.

Θεώρημα 20.4. Εστω d μκδ(a, b). Ένα μέλος c της D είναι μκδ(a, b) ανν c, d είναι ισοδύναμα.

Θεώρημα 20.5. (Ο Ευκλείδειος Αλγόριθμος). Εστω a, b, q₁, q₂, …, q_n+1, r₁, r₂, …, r_n μέλη του D με

a = q₁b + r₁

b = q₂r₁ + r₂

r₁ = q₃r₂ + r₃

………………

r_n-2 = q_nr_n-1 + r_n

r_n-1 = q_n+1r_n + 0.

Tότε το r_n είναι μκδ(a, b).

20.1. Βρείτε τα σύνολα U(Z₄) και U(Z₅).

Λύση

20.2. Δείξτε ότι το είναι μονάδα του Z_n ανν μκδ(m, n) = 1.

Λύση

20.3. Βρείτε τα σύνολα U(Z₈) και U(Z₁₈).

Λύση

20.4. Αναγνωρίστε τις ομάδες U(Z₅), U(Z₈) και U(Z₁₈).

Λύση

20.5. Mε τον ορισμό αυτού του κεφαλαίου, ποια στοιχεία του Ζ είναι πρώτα;

Λύση

20.6. Mε τον ορισμό του μκδ αυτού του κεφαλαίου, βρείτε τους μκδ των  

(ι) 6, 9 και (ιι) 0, 0.

Λύση

20.7. Πόσα πρώτα στοιχεία περιέχει ένα σώμα;

Λύση

20.8. Δείξτε ότι η σχεση ~ που ορίζεται σε ακέραια περιοχή D με a ~ b ανν a½ b και b½ a, είναι σχέση ισοδυναμίας.

Λύση

20.9. Δείξτε ότι αν p, q είναι ισοδύναμα και το p είναι πρώτο, τότε και το q είναι πρώτο.

Λύση

20.10. Δείξτε ότι σε οποιοδήποτε δακτύλιο, a μονάδα, a.b = a.c b = c.

Λύση

20.11. Ενα στοιχειο a 0 δακτυλίου S λέγεται διαιρέτης του μηδενός αν υπάρχει b 0 στο S με a.b = 0.

Δείξτε ότι καμμιά μονάδα του S δεν είναι διαιρέτης του μηδενός.

Λύση

20.12. Δείξτε ότι κάθε μη μηδενικό στοιχείο του Ζ_n που δεν είναι μονάδα είναι διαιρέτης του μηδενός.

Ισχύει αυτό σε κάθε δακτύλιο;

Λύση