22.17. Η = I + J, όπου I = <2> και J = <x>. Αρα το Η είναι ιδεώδες του Ζ[x].
Ας υποθέσουμε ότι το Η είναι κύριο ιδεώδες,
οπότε Η = <α> για κάποιο στοιχείο α του Ζ[x].
Τότε το α
διαιρεί το 2 = 2.1 + x.0
του H. Αρα
α = 1
ή
2.
Αν α = 1,
αφού α
Η,
1
= 2f(x) + xg(x), όπου
f(x) = a0 + a1x + …
και
g(x) έχουν
ακέραιους
συντελεστές.
Αυτό
συνεπάγεται 1
=2a0!
Αν α = 2,
αφού x = 2.0 + x.1
Η, x = (
2)(b0
+ b1x + … ),
όπου b0,
b1 … είναι
ακέραιοι. Αυτό
συνεπάγεται 1 = ()2b1!
Επεται ότι το Η δεν είναι κύριο ιδεώδες του Ζ[x].