22.17. Η = I + J, όπου I = <2> και J = <x>. Αρα το Η είναι ιδεώδες του Ζ[x].

           Ας υποθέσουμε ότι το Η είναι κύριο ιδεώδες, 

           οπότε Η = <α> για κάποιο στοιχείο α του Ζ[x].

           Τότε το α διαιρεί το 2 = 2.1 + x.0 του H. Αρα α = 1 ή 2.

           Αν α = 1, αφού α Η, 1 = 2f(x) + xg(x), όπου f(x) = a₀ + a₁x + … 

           και g(x) έχουν ακέραιους συντελεστές. Αυτό συνεπάγεται 1 =2a₀!

           Αν α = 2, αφού x = 2.0 + x.1 Η, x = (2)(b₀ + b₁x + … ), 

           όπου b₀, b₁ … είναι ακέραιοι. Αυτό συνεπάγεται 1 = ()2b₁!

           Επεται ότι το Η δεν είναι κύριο ιδεώδες του Ζ[x].

Επιστροφή

Επιστροφή στα Περιεχόμενα