24.5. Το f(x) = x3 + x2 + 1 είναι τρίτου βαθμού και δεν έχει ρίζες στο Ζ2,
άρα είναι ανάγωγο.
Από πόρισμα 24.1, το Ζ2[x] / <f(x)> είναι σώμα.
Από το θεώρημα 24.2, τα στοιχεία του είναι τα εξής:
0 = <f(x)>, 1 = 1 + <f(x)>, α = x + <f(x)>, β = 1 + x + <f(x)>, γ = x2 + <f(x)>,
δ = 1 + x2 + <f(x)>, ε = x + x2 + <f(x)>, ζ = 1 + x + x2 + <f(x)>.
Η ομάδα U(Ζ2[x] / <f(x)>) είναι τάξεως 7, άρα έναι ισομορφική με την Ζ7.
Τώρα στο Ζ2[x] / <f(x)>,
f(0) = 1, f(1) = 1, f(α) = x3 + x2 + 1 + <f(x)> = 0,
f(β) = f(α + 1) = (α3 + 3α2 + 3α + 1) + (α2 + 2α + 1) + 1
= (α3 + α2 + α + 1) + (α2 + 1) + 1 = (α3 + α2 + 1) + (α2 + α) = ε.
f(γ) = f(α2) = α6 + α4 + 1 = (α3 + α2 + 1)2 = 0,
f(δ) = f(α2 + 1) = (α6 + α4 + α2 + 1) + (α4 + 1) + 1 = α2 + α4
= (α3 + α2 + 1)( α + 1) = α + 1 = β,
f(ε) = f(α2 + α) = (α6 + α5 + α4 + α3) + (α4 + α2) + 1 = α6 + α5 + α3 + α2 + 1
= (α3 + α2 + 1)α3 + α2 + 1 = α2 + 1,
f(ζ) = f(ε + 1) = (ε3 + ε2 + ε + 1) + (ε2 + 1) + 1 = f(ε) + (ε2 + ε )
= α2 + 1 + (α2 + α )2 + α2 + α = α4 + α2 + α + 1 = (α3 + α2 + 1)(α + 1) = 0.
Aρα οι λύσεις της f(x) στο Ζ2[x] / <f(x)> είναι οι α, γ, και ζ.