Θεώρημα 24.1. Εστω a μη μηδενικό στοιχείο μιας ΠΚΙ D. Tότε το πηλίκο D / <a> είναι σώμα ανν τo a είναι πρώτο στοιχείο της D.

Πόρισμα 24.1. Eστω f(x) μη μηδενικό πολυώνυμο με συντελεστές σε σώμα F. Tότε το πηλίκο F[x] / <f(x)> είναι σώμα ανν τo f(x) είναι ανάγωγο πάνω από το F.

Θεώρημα 24.2. Eστω f(x) πολυώνυμο βαθμού n ³ 1 με συντελεστές σε σώμα F και Η = <f(x)>. Tότε το πηλίκο F[x] / H αποτελείται από όλα τα στοιχεία της μορφής g(x)+H, όπου το g(x) είναι μέλος του F[x] βαθμού £ n - 1. Επιπλέον, όταν g₁(x) και g₂(x) είναι βαθμού £ n - 1, τότε g₁(x)+H = g₂(x)+H ανν g₁(x) = g₂(x).

Πόρισμα 24.2. Eστω p πρώτος, f(x) πολυώνυμο βαθμού n ³ 1 με συντελεστές στο Ζ_p και Η = <f(x)>. Tότε το πηλίκο Ζ_p[x] / H αποτελείται από pⁿ στοιχεία.

24.1. Αναγνωρίστε το πηλίκο R[x] / <x² + 1>.

Υπόδειξη

Λύση

24.2. Αναγνωρίστε το πηλίκο F[x] / <x>, όπου F είναι σώμα.

Λύση

24.3. Εστω f(x) = x³ + x² + x + 1 και F = Z₂. Εξετάστε αν το πηλίκο F[x] / <x> είναι σώμα.

Λύση

24.4. Κάνετε τους πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού για τον δακτύλιο Ζ₂[x] / <f(x)>, όπου f(x) = x² + x + 1. Δείξτε ότι ο Ζ₂[x] / <f(x)> είναι σώμα. Βρείτε όλες τις ρίζες του x² + x + 1 στο Ζ₂[x] / <f(x)>.

Λύση

24.5. Δείξτε ότι ο Ζ₂[x] / <f(x)> είναι σώμα, όπου f(x) = x³ + x² + 1, και αναγνωρίστε την ομάδα των μονάδων του. Βρείτε την τιμή του f(x) σε κάθε στοιχείο του Ζ₂[x] / <f(x)>, και εντοπίστε όλες τις ρίζες του f(x).

Λύση

24.6. Βρείτε όλες τις μονάδες του Ζ₃[x] / <f(x)>, όπου f(x) = x² + 1, και αναγνωρίστε την ομάδα που σχηματίζουν. Είναι ο δακτύλιος Ζ₃[x] / <f(x)> σώμα; Βρείτε όλες τις ρίζες του g(x) = x⁴ + 2 στο Ζ₃[x] / <f(x)>.

Λύση

24.7. Βρείτε ένα σώμα με 27 στοιχεία.

Λύση

24.8. Βρείτε ένα σώμα με 125 στοιχεία.

Λύση

Στις επόμενες 5 ασκήσεις, το S παριστάνει αντιμεταθετικό δακτύλιο με 1.

Ορισμοί: (ι) Ενα ιδεώδες Η του S λέγεται πρώτο αν a . b H a Η ή b H.

(ιι) Ενα ιδεώδες Η του S λέγεται μέγιστο αν Η S και Η G, G ιδεώδες του S G = H ή G = S.

24.9. Βρείτε όλα τα πρώτα και όλα τα μέγιστα ιδεώδη του Ζ₁₂. Βλέπε άσκηση 23.9.

Λύση

24.10. Εστω Η ιδεώδες του S. Δείξτε ότι το Η είναι πρώτο ιδεώδες ανν το πηλίκο S / H είναι ακέραια περιοχή.

Λύση

24.11. Εστω Η ιδεώδες και a μέλος του S. Δείξτε ότι το σύνολο Ε = { sa + h : s S, h H } αποτελεί ιδεώδες του S.

Λύση

24.12. Εστω Η ιδεώδες του S. Δείξτε ότι το Η είναι μέγιστο ιδεώδες ανν το πηλίκο S / H είναι σώμα.

Λύση

24.13. Εστω Η μέγιστο ιδεώδες του S. Δείξτε ότι το Η είναι πρώτο.

Λύση

24.14. (Ο δακτύλιος του Boole). Στο σύνολο P(S) όλων των υποσυνόλων δεδομένου

συνόλου S, ορίζονται δύο πράξεις +, . ως εξής:

A + B = (A - B) (B - A)

A . B = A B

Δείξτε ότι το < P(S), +, . > αποτελεί αντιμεταθετικό δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο. Πόσες μονάδες έχει;

Λύση