24.12. Εστω ότι το Η είναι μέγιστο ιδεώδες. Το ότι H S εξασφαλίζει ότι S / H 0.

           Θεωρώ τώρα τυχαίο μη μηδενικό στοιχείο του a + H του S / H. Τότε, a H

           και, από την 24.11, το Ε = { sa + h : s S, h H }είναι ιδεώδες του S.

           Tο E περιέχει κάθε στοιχείο h = 0a + h του Η καθώς επίσης και το a = 1a + 0.

           Aρα, E = S. Συνεπώς, 1 E και υπάρχει s στο S και h στο H με 1 = sa + h.

           Ετσι στο S / H, 1 = (sa + h) + Η = sa + Η = (s + H)( a + H).

           Επεται ότι κάθε μη μηδενικό στοιχείο του δακτυλίου S / H είναι μονάδα.

           (Σημ.: Ο S / H, όπως ο S, είναι αντιμεταθετικός και έχει μοναδιαίο στοιχείο).

           Αρα ο S / H είναι σώμα.

           Αντίστροφα, έστω ότι ο S / H είναι σώμα. 

           Πρώτα, Η S, διαφορετικά S / H = { 0 }!

           Θεωρώ τώρα ιδεώδες Ε του S με Η Ε και Η Ε. Υπάρχει a E - H.

           Τότε το a + H είναι μονάδα του S / H, και για κάποιο b του S,

           (a + H)(b + H) = ab + H = 1 = 1 + H.

           Συνεπώς, 1 – ab Η Ε. Aρα, αφού a E, 1 = (1 – ab) + ab E.

           Aρα για κάθε s του S, s = 1.s E.

           Προκύπτει ότι E = S, και το Η είναι μέγιστο ιδεώδες του S.

Επιστροφή

Επιστροφή στα Περιεχόμενα