24.6. Τα στοιχεία του Ζ3[x] / <f(x)>, όπου f(x) = x2 + 1, ειναι τα εξής:

         0 = <x2 + 1>, 1 = 1 + <f(x)>, 2 = 2 + <f(x)>, α = x + <f(x)>, 2α = 2x + <f(x)>,

         α + 1 = 1 + x + <f(x)>, α + 2 = 2 + x + <f(x)>, 2α + 1 = 1 + 2x + <f(x)>,

         και 2α + 2 = 2 + 2x + <f(x)>.

         Προφανώς, 1 και 2 είναι μονάδες (2.2 =1). Επειδή α2 + 1 = 0, έχουμε επίσης

         α(2α) = - α2 = 1, (α + 1)(α + 2) = α2 + 2 = 1, και (2α + 1)(2α + 2) = α2 + 2 = 1.

         Επεται ότι όλα τα μη μηδενικά στοιχεία του Ζ3[x] / <f(x)> είναι μονάδες και

         ο Ζ3[x] / <f(x)> είναι σώμα.

 

         Επειδή η τάξη της U(Ζ3[x] / <f(x)>) είναι 8, καθε μονάδα έχει τάξη 1, 2, 4 ή 8.

         Παρατηρώ ότι (α + 1)2 = α2 + 2α + 1 = 2α και (α + 1)4 = α2 = - 1.

         Αρα το (α + 1) έχει τάξη 8, και η U(Ζ3[x] / <f(x)>) είναι κυκλική 

         με ένα γενήτορα το α + 1.

 

         Στο Ζ3[x] / <f(x)>, οι 1, α είναι ρίζες του g(x) = x4 + 2 = x4 - 1 = (x2 + 1)(x - 1).

         Το g(x) δεν μπορεί να έχει άλλες ρίζες αφού είναι βαθμού 4.

 

Επιστροφή

 

Επιστροφή στα Περιεχόμενα