23. Ιδεώδη και δακτύλιοι-πηλίκα.

 

Θεώρημα 23.1. Ο πυρήνας ομομορφισμού δακτυλίων φ : S ® T είναι ιδεώδες του S.

Θεώρημα 23.2. Εστω H ιδεώδες δακτυλίου S.

(1) Στο συνολο S / H = {a+H : a S}, το οποίο αποτελείται από όλα τα αριστερά σύμπλόκα της υποομάδας Η της < S, + >, ορίζoνται πραξεις + και . μέσω των

(a+H) + (b+H) = (a + b)+H

(a+H) . (b+H) = (a . b)+H.

(2) To < S / H, +, . > είναι δακτύλιος με ουδέτερο στοιχείο το 0+H = Η.

(Λέγεται ο δακτύλιος-πηλίκο S modulo H).

(3) H φυσική απεικόνιση π : S ® S / H που στέλνει το a στο a+H είναι επιμορφισμός με Kerπ = Η.

(4) Αν ο S είναι αντιμεταθετικός, το ίδιο ισχύει για τον S / H.

(5) Αν ο S έχει ταυτοτικό στοιχείο 1, τοτε ο S / H έχει το 1+Η ως ταυτοτικό στοιχείο.

(6) Αν ο S είναι πεπερασμένος, τότε .

Θεώρημα 23.3. (Θεμελιώδες θεώρημα ομομορφισμού). Εστω φ : S ® T ομομορφισμός και Η = Kerφ. Τότε:

(1) η ευθεία εικόνα Imφ = { φ(a) : a S } είναι υποδακτύλιος του T.

(2) η φόρμουλα ψ(a+H) = φ(a) ορίζει ισομορφισμό ψ : S / H ® Imφ.

Πόρισμα 23.1. Αν φ : S ® T είναι επιμορφισμός, τότε T ~ S / Kerφ.

23.1. Εστω F σώμα και φ : F ® S ομομορφισμός δακτυλίων με φ(1) 0. Δείξτε ότι ο φ είναι μονομορφισμός.

Υπόδειξη

Λύση

23.2. Αναγνωρίστε τον δακτύλιο S / H, όπου Η = <0>.

Λύση

23.3. Δείξτε ότι οι 3Ζ / 9Ζ και Ζ₃ δεν είναι ισομορφικοί δακτύλιοι.

Λύση

23.4. Αναγνωρίστε τον δακτύλιο Ζ / <n>.

Λύση

23.5. Αναγνωρίστε τον δακτύλιο Ζ₂₄ / H, όπου Η = { 0, 6, 12, 18 } = <6>.

Υπόδειξη

Λύση

23.6. Εστω S, T αντιμεταθετικοί δακτύλιοι με 1, φ : S ® T ομομορφισμός, και H ιδεώδες του S. Δείξτε ότι το E = { x S : φ(x) H } είναι ιδεώδες του Τ.

Λύση

23.7. Εστω S αντιμεταθετικός δακτύλιος με 1 και φ : S ® T επιμορφισμός δακτυλίων. Εστω επίσης ότι κάθε ιδεώδες του S είναι κύριο. Δείξτε ότι κάθε ιδεώδες του Τ είναι κύριο.

Λύση

23.8. Δείξτε ότι όλα τα ιδεώδη του Ζ_n είναι κύρια.

Λύση

23.9. Βρείτε όλα τα ιδεώδη του Ζ₁₂. Αναγνωρίστε τα αντίστοιχα πηλίκα.

Λύση

23.10. Βρείτε τον πυρήνα του ομομορφισμού φ : R[x] ® C που ορίζεται με φ(f(x)) = f(i).

Λύση