Λύση

Η διανυσματική εξίσωση τού επιπέδου είναι

($$\vec{r}\,$$ - $$\vec{r}_{0}^{}$$) ^. $$\vec{r}_{0}^{}$$ = 0,     $$\Rightarrow$$     $$\vec{r}\,$$ ^. $$\vec{r}_{0}^{}$$ = |$$\vec{r}\,$$|².

Τα διανύσματα θέσης των κορυφών είναι A$\vec{x}_{0}^{}$, B$\vec{y}_{0}^{}$, C$\vec{z}_{0}^{}$. Αυτά ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου, οπότε

A = $${\vert\vec{r}_0\vert^2\over\vec{r}_0\cdot\vec{x}_0}$$,    B = $${\vert\vec{r}_0\vert^2\over\vec{r}_0\cdot\vec{y}_0}$$,    C = $${\vert\vec{r}_0\vert^2\over\vec{r}_0\cdot\vec{z}_0}$$.

Αντικαθιστούμε τις τιμές αυτές στον τύπο του εμβαδού τριγώνου (8) και μετά από απλές πράξεις, και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι

|$$\vec{r}_{0}^{}$$|² = ($$\vec{r}_{0}^{}$$ ^. $$\vec{x}_{0}^{}$$)² + ($$\vec{r}_{0}^{}$$ ^. $$\vec{y}_{0}^{}$$)² + ($$\vec{r}_{0}^{}$$ ^. $$\vec{z}_{0}^{}$$)²

παίρνουμε το ζητούμενο.