Λύση

Το διάνυσμα $\vec{n}\,$ = (1, - 3, - 1) είναι κάθετο στο επίπεδο (E) και δείχνει προς τον θετικό ημίχωρο του (E). Το εσωτερικό γινόμενο

$$\vec{n}\,$$ ^. $$\vec{a}\,$$ = - 3 < 0

είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η γωνία μεταξύ των $\vec{n}\,$ και $\vec{a}\,$ είναι αμβλεία και συνεπώς το $\vec{a}\,$ δείχνει προς τον αρνητικό ημίχωρο του (E). Άρα η προσημασμένη απόσταση των επιπέδων είναι - $\sqrt{11}$.

Η απόσταση τυχόντος σημείου P(x, y, z) του ζητούμενου επιπέδου από το (E) είναι

$${\frac{x-3y-z+2}{\sqrt{(1)^2+(-3)^2+(-1)^2}}}$$,

συνεπώς

$${\frac{x-3y-z+2}{\sqrt{11}}}$$ = - $$\sqrt{11}$$     $$\Rightarrow$$     x - 3y - z + 13 = 0

είναι η εξίσωση του ζητούμενου επιπέδου.