Λύση

Ακολουθώντας την υπόδειξη βρίσκουμε $\lambda$($\vec{a}\,$ ^. $\vec{b}\,$) + $\mu$($\vec{a}\,$ ^. $\vec{c}\,$) = 0. Σαν συνέπεια βρίσκουμε $\lambda$ = $\kappa$($\vec{a}\,$ ^. $\vec{c}\,$) και $\mu$ = $\kappa$($\vec{a}\,$ ^. $\vec{b}\,$) για $\kappa$ $\in$ $\mathbb {R}$. Θα δείξουμε ότι το $\kappa$ δεν εξαρτάται από τα διανύσματα $\vec{a}\,$, $\vec{b}\,$ και $\vec{c}\,$.

Ας γράψουμε προς στιγμή $\vec{a}\,$ x ($\vec{b}\,$ x $\vec{c}\,$) = $\kappa$($\vec{a}\,$)[($\vec{a}\,$ ^. $\vec{c}\,$)$\vec{b}\,$ - ($\vec{a}\,$ ^. $\vec{b}\,$)$\vec{c}\,$] για να τονίσουμε την εξάρτηση του $\kappa$ από το $\vec{a}\,$. Από τη γραμμικότητα ($\vec{a}\,$ + $\vec{a}{^\prime}$) x ($\vec{b}\,$ x $\vec{c}\,$) = $\vec{a}\,$ x ($\vec{b}\,$ x $\vec{c}\,$) + $\vec{a}{^\prime}$ x ($\vec{b}\,$ x $\vec{c}\,$) βρίσκουμε $\kappa$($\vec{a}\,$ + $\vec{a}{^\prime}$) = $\kappa$($\vec{a}\,$) = $\kappa$($\vec{a}{^\prime}$). Αν βάλουμε $\vec{a}{^\prime}$ = $\vec{0}\,$ βρίσκουμε $\kappa$($\vec{a}\,$) = $\kappa$(0), συνεπώς το $\kappa$ είναι ανεξάρτητο του $\vec{a}\,$. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι είναι ανεξάρτητο των $\vec{b}\,$,$\vec{c}\,$. Για να βρούμε την τιμή του χρησιμοποιούμε μιά ορθοκανονική βάση ($\vec{x}_{0}^{}$,$\vec{y}_{0}^{}$,$\vec{z}_{0}^{}$) και το γεγονός ότι π.χ.

$$\vec{y}_{0}^{} \vec{x}_{0}^{} \vec{x}_{0}^{} \vec{y}_{0}^{} \kappa \vec{x}_{0}^{} \vec{y}_{0}^{} \vec{x}_{0}^{} \vec{x}_{0}^{} \vec{x}_{0}^{} \vec{y}_{0}^{} \kappa \vec{y}_{0}^{}$$

συνεπώς $\kappa$ = 1.