Λύση

Από την 4) έπεται ότι υπάρχουν $\lambda$ και $\mu$ τέτοια ώστε $\vec{w}\,$ = $\lambda$$\vec{u}\,$ + $\mu$$\vec{v}\,$. Επειδή $\vec{u}\,$ ^. $\vec{u}\,$ = 81,  $\vec{u}\,$ ^. $\vec{v}\,$ = 9 και $\vec{v}\,$ ^. $\vec{v}\,$ = 9, από την 1) παίρνουμε 0 = $\vec{u}\,$ ^. $\vec{w}\,$ = 81$\lambda$ + 9$\mu$ συνεπώς 9$\lambda$ + $\mu$ = 0. Από την 2) έχουμε $\vec{w}\,$ ^. $\vec{w}\,$ - $\vec{u}\,$ ^. $\vec{u}\,$ = 0, συνεπώς 9$\lambda^{2}_{}$ + 2$\lambda$$\mu$ + $\mu^{2}_{}$ - 9 = 0.

Λύνουμε το σύστημα 9$\lambda$ + $\mu$ = 0 και 9$\lambda^{2}_{}$ + 2$\lambda$$\mu$ + $\mu^{2}_{}$ - 9 = 0 παίρνουμε δύο λύσεις $\lambda$ = $\pm$$\sqrt{2}$/4 και $\mu$ = $\mp$9$\sqrt{2}$/4. Αυτές δίνουν τα διανύσματα $\vec{w}\,$ = $\pm$($\sqrt{2}$/2)(- 5, 11, - 4).

Τελικά από την ιδιότητα 3) θα πρέπει $\vec{w}\,$ ^. $\vec{v}\,$ $\geq$ 0. Μετά τις πράξεις παίρνουμε $\vec{w}\,$ ^. $\vec{v}\,$ = $\mp$18$\sqrt{2}$. Άρα το ζητούμενο διάνυσμα είναι το $\vec{w}\,$ = ($\sqrt{2}$/2)(5, - 11, 4).