Next: Η ευθεία στο επίπεδο
Up: Άσκηση
Previous: Υπόδειξη
Τα τρίγωνα OAA1,
OA1A2,..., OAn - 1An είναι όμοια γιατί είναι
ορθογώνια και έχουν τη γωνία
(AOB) κοινή. Συνεπώς έχουμε τις σχέσεις
αναλογίας
και συγκρίνοντας παίρνουμε
Από τις παραπάνω σχέσεις είναι προφανές ότι
An - 1An = AA1, |
|
|
|
συνεπώς μένει να υπολογίσουμε το
=
και ΑΑ1.
Από τις συντεταγμένες των σημείων A, B έχουμε
OA = OB =
. Επίσης από το εμβαδόν του τριγώνου OAB
έχουμε
Εμβ(OAB) = (OB)(AA1) = | ![$\displaystyle \left\vert\vphantom{
\begin{array}{ccc}\alpha&\beta&1\\ \beta&\alpha&1\\ 0&0&1
\end{array}}\right.$](img144.gif)
|. |
|
|
|
Αντικαθιστώντας παίρνουμε
οπότε
= . |
|
|
|
Bρίσκουμε
AA1 + A1A2 + ... + An - 1An |
= |
AA1(1 +
+ ... + ) |
|
|
= |
![$\displaystyle {\frac{\beta^2-\alpha^2}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}}$](img147.gif) . |
|
Επειδή
0 <
< 1, έχουμε τελικά
(AA1 + A1A2 + ... + An - 1An) |
= |
![$\displaystyle {\frac{\beta^2-\alpha^2}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}}$](img147.gif) ![$\displaystyle {\frac{1}{1-\kappa}}$](img153.gif) |
|
|
= |
![$\displaystyle {\frac{\beta+\alpha}{\beta-\alpha}}$](img154.gif) . |
|
Next: Η ευθεία στο επίπεδο
Up: Άσκηση
Previous: Υπόδειξη
Aristophanes Dimakis
1999-10-05