Η ευθεία στο επίπεδο

Μια ευθεία που παιρνά από το σημείο P₁($\vec{r}_{1}^{}$) και είναι παράλληλη προς διάνυσμα $\vec{a}\,$ έχει εξίσωση

$$\vec{r}\, \vec{r}_{1}^{} \vec{a}\,$$ (15)

ενώ αν παιρνά και από το σημείο P₂($\vec{r}_{2}^{}$) έχει εξίσωση

$$\vec{r}\, \vec{r}_{1}^{} \vec{r}_{2}^{} \vec{r}_{1}^{}$$ (16)

όπου t $\in$ $\mathbb {R}$. Σε συντεταγμένες οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται

x	=	x1 + t$$\alpha$$
y	=	y1 + t$$\beta$$

        ή        $$\begin{array}{lcl}x&=&x_1+t(x_2-x_1)\\ y&=&y_1+t(y_2-y_1)\end{array}$$,

(17)

με t $\in$ $\mathbb {R}$. Σε αναλυτική μορφή οι εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο είναι

$${\frac{x-x_1}{\alpha}} {\frac{y-y_1}{\beta}} {\frac{x-x_1}{x_2-x_1}} {\frac{y-y_1}{y_2-y_1}}$$ (18)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν τη γενική μορφή

$$\neq$$ (19)

Η κλίση $\lambda$ μιας ευθείας είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα Ox. Συνεπώς η ευθεία που έχει κλίση $\lambda$ και περνάει από το σημείο (x₀, y₀) είναι

$$\lambda$$ (20)

Δυο ευθείες είναι κάθετες αν το γινόμενο των κλίσεων τους είναι -1, δηλ. $\lambda_{1}^{}$$\lambda_{2}^{}$ = - 1.

Το διάνυσμα (B, - A) είναι παράλληλο προς την ευθεία, ενώ το διάνυσμα (A, B) είναι κάθετο προς αυτήν.

Οι δύο εξισώσεις

A₁x + B₁y + C₁ = 0,                A₂x + B₂y + C₂ = 0 (21)

παριστάνουν παράλληλες ευθείες, αν

$${\frac{A_1}{A_2}} {\frac{B_1}{B_2}}$$ (22)

ενώ παριστάνουν την ίδια ευθεία αν

$${\frac{A_1}{A_2}} {\frac{B_1}{B_2}} {\frac{C_1}{C_2}}$$ (23)

Η σχετική θέση τριών ευθειών A_ix + B_iy + C_i = 0, i = 1, 2, 3 εξαρτάται από τις τάξεις των δύο πινάκων

$$\left(\vphantom{\begin{array}{cc} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \\ A_3 & B_3 \end{array}}\right. \begin{array}{cc} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \\ A_3 & B_3 \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{cc} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \\ A_3 & B_3 \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{array}}\right. \begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{ccc} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{array}}\right)$$

Έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
α) r(D) = 1,  r(E) = 1. Οι τρείς ευθείες συμπίπτουν.
β) r(D) = 1,  r(E) = 2. Οι τρείς ευθείες είναι παράλληλες.
γ) r(D) = 2,  r(E) = 2. Οι τρείς ευθείς περνούν από το ίδιο σημείο.
δ) r(D) = 2,  r(E) = 3. Οι τρείς ευθείες σχηματίζουν τρίπλευρο.

Επίπεδη δέσμη ευθειών είναι το σύνολο των ευθειών του επιπέδου που διέρχονται από ένα σημείο ή είναι παράλληλες μεταξύ τους. Αν A_ix + B_iy + C_i = 0, i = 1, 2 είναι δυο ευθείες της δέσμης τότε κάθε αλλή ευθεία που ανήκει στη δέσμη που ορίζουν αυτές έχει εξίσωση

$$\lambda_{1}^{} \lambda_{2}^{}$$ (24)

Μια ευθεία Ax + By + C = 0 χωρίζει το επίπεδο σ'ένα θετικό και ένα αρνητικό ημιεπίπεδο. Ως θετικό ημιεπίπεδο ορίζεται εκείνο στο οποίο η παράσταση Ax + By + C παίρνει θετική τιμή. Το κάθετο διάνυσμα (A, B) δείχνει προς το θετικό ημιεπίπεδο.

Ο τύπος

$${\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}}$$ (25)

δίνει την προσημασμένη απόσταση του σημείου P₀(x₀, y₀) από την ευθεία Ax + By + C = 0. Η τιμή της d είναι αρνητική αν το σημείο βρίσκεται στο αρνητικο ημιεπίπεδο.