Λύση

'Εχουμε ήδη δει στην 'Ασκηση 3 ότι για κάθε $a \in \mathbb R$ η συνάρτηση είναι συνεχής στο $\mathbb R$. Για $x < 0$ καθώς επίσης και για $x >0$ η συνάρτηση μας είναι προφανώς παραγωγίσιμη. Για να είναι παραγωγίσιμη και στο $0$ πρέπει να υπάρχει το όριο

$$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x-0}.$$

Επειδή $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$ έχουμε

$$\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim\limits_{x \to 0^+}\frac{\sin (ax)}{x} = a.$$

και

$$\lim\limits_{x \to 0^-}\frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2$$

’ρα για $a = 2$ η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb R$.

'Ασκηση 5 Υπόδειξη