next up previous
Next: 'Ασκηση 6 Up: 'Ασκηση 5 Previous: Υπόδειξη


Λύση

'Εχουμε ήδη δει στην 'Ασκηση 3 ότι για κάθε $a \in \mathbb R$ η συνάρτηση είναι συνεχής στο $\mathbb R$. Για $ x < 0$ καθώς επίσης και για $x >0$ η συνάρτηση μας είναι προφανώς παραγωγίσιμη. Για να είναι παραγωγίσιμη και στο $0$ πρέπει να υπάρχει το όριο

\begin{displaymath}\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x-0}.\end{displaymath}

Επειδή $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$ έχουμε

\begin{displaymath}\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim\limits_{x \to 0^+}\frac{\sin (ax)}{x} = a.\end{displaymath}

και

\begin{displaymath}\lim\limits_{x \to 0^-}\frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2\end{displaymath}

Άρα για $a = 2$ η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb R$.

'Ασκηση 5 Υπόδειξη




Antonis Tsolomitis
1999-11-11