Λύση

Επειδή η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $[0,1]$ θα είναι και συνεχής σ' αυτό. Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα θα έχει ελάχιστο στο διάστημα $[0,1]$. Αρκεί να δείξουμε ότι δεν μπορεί να είναι το $0$ ή το $1$. 'Εστω ότι το $0$ είναι ελάχιστο, τότε

$$f(0) \leq f(x), \; \forall x \in [0,1]$$

και άρα

$$\frac{f(x) - f(0)}{x} \geq 0, \; \; \forall x \in [0,1].$$

Παίρνοντας όρια στη ανισότητα, από τον ορισμό της παραγώγου στο $0$ και από γνωστή ιδιότητα των ορίων, έχουμε ότι

$$f'(0) = \lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x} \geq 0.$$

Η σχέση αυτή έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι $f'(0) < 0$. 'Ομοια απορρίπτουμε και την περίπτωση το $1$ να είναι ελάχιστο.

'Ασκηση 6 Υπόδειξη