Λύση

Από τη σχέση $x \leq y, \; \forall x \in A, \, \forall y \in B$ έχουμε ότι το $A$ είναι άνω φραγμένο και άρα έχει ελάχιστο άνω φράγμα ενώ το $B$ είναι κάτω φραγμένο και άρα έχει μέγιστο κάτω φράγμα.

Έστω $y \in B$. Σύμφωνα με την υπόθεση το $y$ είναι άνω φράγμα του $A$ και άρα $\sup A \leq y$. Επειδή το $y$ είναι τυχαίο στοιχείο του $B$ έχουμε ότι $\sup A \leq y, \; \forall y \in B.$ Από εδώ συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός $\sup A$ είναι κάτω φράγμα του $B$ και άρα

$$\sup A \leq \inf B.$$

'Ασκηση 5 Υπόδειξη