next up previous
Next: 'Ασκηση 29 Up: 'Ασκηση 28 Previous: Υπόδειξη


Λύση

Είναι φανερό πως το όριο δεν υπολογίζεται με τη χρήση των ιδιοτήτων των ορίων. Είναι απροσδιοριστία της μορφής $1^{\infty}.$ Το μετασχηματίζουμε κατάλληλα, ώστε να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του L' Hospital. Θεωρούμε τη συνάρτηση

\begin{displaymath}f(x) = { \left({{a^x +b^x}\over 2}\right)}^{1\over x}, \;\;
x \not = 0.\end{displaymath}

Είναι

\begin{displaymath}f(x) = e^{\frac {\log \left( {{a^x +b^x}\over 2}\right)}{x}}.\end{displaymath}

Λόγω της συνέχειας της εκθετικής συνάρτησης, αρκεί να βρούμε το $\lim\limits_{x \to 0}g(x),$ όπου

\begin{displaymath}g(x) = \frac {\log \left( {{a^x +b^x}\over 2}\right)}{x}.\end{displaymath}

Οι προ"υποθέσεις του θεωρήματος του L' Hospital ικανοποιούνται. Επειδή

\begin{eqnarray*}\frac {\log \left( {{a^x +b^x}\over 2}\right)'}{x'}
&= & \frac{...
...\log b}\over 2}\right) \\
&\to & \log \sqrt {ab}, \;\; x \to 0,
\end{eqnarray*}



έχουμε ότι

\begin{displaymath}\lim\limits_{x \to 0}{ \left( {{a^x +b^x}\over 2}\right)}^{1\over x} =
e^{\log \sqrt {ab}} =\sqrt {ab}.\end{displaymath}

'Ασκηση 28 Υπόδειξη




Antonis Tsolomitis
1999-11-11