Λύση

Είναι φανερό πως το όριο δεν υπολογίζεται με τη χρήση των ιδιοτήτων των ορίων. Είναι απροσδιοριστία της μορφής $1^{\infty}.$ Το μετασχηματίζουμε κατάλληλα, ώστε να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του L' Hospital. Θεωρούμε τη συνάρτηση

$$f(x) = { \left({{a^x +b^x}\over 2}\right)}^{1\over x}, \;\; x \not = 0.$$

Είναι

$$f(x) = e^{\frac {\log \left( {{a^x +b^x}\over 2}\right)}{x}}.$$

Λόγω της συνέχειας της εκθετικής συνάρτησης, αρκεί να βρούμε το $\lim\limits_{x \to 0}g(x),$ όπου

$$g(x) = \frac {\log \left( {{a^x +b^x}\over 2}\right)}{x}.$$

Οι προ"υποθέσεις του θεωρήματος του L' Hospital ικανοποιούνται. Επειδή

$$\begin{eqnarray*}\frac {\log \left( {{a^x +b^x}\over 2}\right)'}{x'} &= & \frac{... ...\log b}\over 2}\right) \\ &\to & \log \sqrt {ab}, \;\; x \to 0, \end{eqnarray*}$$

έχουμε ότι

$$\lim\limits_{x \to 0}{ \left( {{a^x +b^x}\over 2}\right)}^{1\over x} = e^{\log \sqrt {ab}} =\sqrt {ab}.$$

'Ασκηση 28 Υπόδειξη