next up previous
Next: 'Ασκηση 8 Up: 'Ασκηση 7 Previous: Υπόδειξη


Λύση

Λόγω της υπόθεσης $a_n > 0, \; a_n \not=1,$ το πηλίκο είναι καλά ορισμένο. Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα

\begin{displaymath}(1+x +x ^2+ \ldots+ x^n)(1-x) = 1 - x^{n+1}, \; x\in
\mathbb R , \; n \in \mathbb N,\end{displaymath}

έχουμε

\begin{eqnarray*}
\frac {1 - \sqrt a_n}{1 - \sqrt [4] a_n} &=& \frac {(1 - \sqrt...
...sqrt [4] a_n + \sqrt [4] a^2_n + \sqrt [4] a^3_n}{1 + \sqrt a_n}
\end{eqnarray*}



Επειδή $\lim\limits_{n
\to \infty} a_{n} = 1$ χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ορίων έχουμε

\begin{displaymath}\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac {1 - \sqrt a_n...
...[4] a_n + \sqrt [4] a^2_n +\sqrt [4] a^3_n}{1 + \sqrt a_n} = 2.\end{displaymath}

'Ασκηση 7 Υπόδειξη




Antonis Tsolomitis
1999-11-11