Λύση

Λόγω της υπόθεσης $a_n > 0, \; a_n \not=1,$ το πηλίκο είναι καλά ορισμένο. Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα

$$(1+x +x ^2+ \ldots+ x^n)(1-x) = 1 - x^{n+1}, \; x\in \mathbb R , \; n \in \mathbb N,$$

έχουμε

$$\begin{eqnarray*} \frac {1 - \sqrt a_n}{1 - \sqrt [4] a_n} &=& \frac {(1 - \sqrt... ...sqrt [4] a_n + \sqrt [4] a^2_n + \sqrt [4] a^3_n}{1 + \sqrt a_n} \end{eqnarray*}$$

Επειδή $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = 1$ χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ορίων έχουμε

$$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac {1 - \sqrt a_n... ...[4] a_n + \sqrt [4] a^2_n +\sqrt [4] a^3_n}{1 + \sqrt a_n} = 2.$$

'Ασκηση 7 Υπόδειξη