Λύση

Αν $c = 0$ τότε προφανώς η ακολουθία μας είναι η μηδενική.

'Εστω $c\not=0$. Τότε

$$a_{n+1} = (n+1) c^{n+1} = \frac{n+1}{n}c a_n$$

και άρα

$$\vert a_{n+1}\vert \leq \vert a_n\vert,\;\hbox{για} \; n > \frac{\vert c\vert}{1 - \vert c\vert}, \; (\vert c\vert <1).$$

'Αρα η ακολουθία $\vert a_n\vert$ είναι φθίνουσα (από κάποιο δείκτη και μετά) και φραγμένη (θετικών όρων), οπότε, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα συγκλίνει, έστω στο $a$. Από τη σχέση $$\vert a_{n+1}\vert = \frac{n+1}{n} \vert c\vert \vert a_n\vert,$$ παίρνοντας όρια έχουμε $a = \vert c\vert a$ και άρα $a = 0$. Αφού η $\vert a_n\vert$ είναι μηδενική και η $a_n$ θα είναι μηδενική (βλέπε άσκηση 4).

'Ασκηση 11 Υπόδειξη