Λύση

Χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες $\sin x = \cos(x - \frac{\pi}{2}),\;\cos 2x = 1 - 2 \sin^2x$ έχουμε ότι

$$\begin{eqnarray*} {{x - {\pi \over 2}}\over {\sqrt {1 - \sin x}}} &=& {{x - {\pi... ...}}\over {\sqrt 2 \vert\sin (\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) \vert}} \end{eqnarray*}$$

και άρα

$$f(x) = \left \{\begin{array}{ll} {{x - {\pi \over 2}}\over {\... ...)}} & \: \hbox{αν} \; \; x < \frac{\pi}{2}. \end{array} \right.$$

Λόγω της μορφής της συνάρτησης βρίσκουμε τα πλευρικά όρια χρησιμοποιώντας το όριο $$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$$ Είναι

$$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to ({\pi \over 2} )^+} f(x) &=& \lim\limits_{x... ...& \lim\limits_{y \to 0^+}{ {2y}\over {\sqrt 2 \sin y }} =\sqrt 2 \end{eqnarray*}$$

και

$$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to ({\pi \over 2} )^-} f(x) &=& - \lim\limits_... ...im\limits_{y \to 0^-}{ {2y}\over {\sqrt 2 \sin y }} = - \sqrt 2. \end{eqnarray*}$$

Τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά και άρα σύμφωνα με γνωστό θεώρημα δεν υπάρχει το όριο.

'Ασκηση 3 Υπόδειξη