Έστω f μια διαφορίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο ανοικτό υποσύνολο U του R³ και α ένας πραγματικός. Το σύνολο των σημείων (x, y, z) που ικανοποιούν f(x, y, z) = α θα λέγεται ισοσταθμική επιφάνεια της f (ή απλώς επιφάνεια) η οποία αντιστοιχεί στο α. Aν αντί του R³ έχουμε το R², τότε το παραπάνω σύνολο θα λέγεται ισοσταθμική καμπύλη της f η οποία αντιστοιχεί στο α.

Μια καμπύλη C : [a, b]® R³ ευρίσκεται πάνω στην επιφάνεια αυτή αν f(C(t))=α για κάθε t[a, b].

Έστω Ρ ένα σημείο πάνω στην επιφάνεια f(x, y, z) = α και C μια καμπύλη που ευρίσκεται πάνω από την επιφάνεια και διέρχεται από το Ρ. Tότε υπάρχει s τ.ω. C(s)=P. Επειδή f(C(t))=0, παραγωγίζοντας παίρνουμε

gradf(C(t))· C'(t)=0

οπότε στο t=s

gradf(P)· C'(s)=0

που σημαίνει ότι το gradient της f στο Ρ είναι κάθετο στο διάνυσμα της ταχύτητας της C στο Ρ (με την υπόθεση ότι C'(s)0). Είναι λογικό λοιπόν να ορίσουμε το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια αυτή στο σημείο Ρ να είναι το επίπεδο το οποίο διέρχεται από το Ρ και είναι κάθετο στο gradf(P). Το gradf(P) θα λέγεται κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια στο σημείο Ρ.

1. Nα βρείτε την εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου στην επιφάνεια xy+xz+yz=5 στο σημείο (1, 1, 2). [Λύση]

2. Να βρείτε ένα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια y³+xy=1 στο σημείο της (0, 1, 1). [Λύση]

3. Nα βρείτε την εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου στην επιφάνεια z = cos(xy) στο σημείο (1, π/2, 0). [Λύση]

4. Έστω Γ(t), μια καμπύλη και Α ένα σημείο εκτός αυτής. Yποθέτουμε οτι η απόσταση του Α από τα σημεία της καμπύλης παρουσιάζει ελάχιστο στο t=s. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που ενώνει το Α με το σημείο Γ(s) είναι κάθετη στο διάνυσμα ταχύτητης της Γ στο t=s (δηλαδή στο Γ'(s)). [Υπόδειξη] [Λύση]

[Περιεχόμενα]