Έστω f διαφορίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο ανοικτό U, ΡU και Α μοναδιαίο διάνυσμα. Θέλουμε να υπολογίσουμε τον λόγο της αλλαγής της f πάνω στην ευθεία που διέρχεται από το Ρ και έχει κατεύθυνση Α. Ορίζοντας γ(t) = f(Ρ+tΑ) παίρνουμε

άρα στο t=0 έχουμε

Αυτός ο αριθμός θα ονομάζεται κατά κατεύθυνση παράγωγος της f στην κατεύθυνση του Α στο Ρ και θα συμβολίζεται με D_Af(P).

Aπό γνωστή ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου έχουμε

D_Af(P) = ||gradf(P)||cosθ        ( ||Α||=1 )

με θ την γωνία μεταξύ Α και gradf(P).  (για τον ορισμό της γωνίας στο κεφάλαιο 1 [Μετάβαση])

Από αυτή την ισότητα εύκολα αποδεικνύεται το παρακάτω:

Θεώρημα:  Έστω ότι gradf(P)0. Tότε στο Ρ η κατεύθυνση κατά μηκος της οποίας η f αυξάνει γρηγορότερα είναι αυτή του gradf(P). (Σ' αυτή την περίπτωση Α = gradf(P) / ||gradf(P)|| )

Ασκήσεις

1. Nα υπολογίσετε την κατά κατεύθυνση παράγωγο της f(x, y) = x²+3xy στην κατεύθυνση του (2, 1) στο σημείο (1,1).[Λύση]

2. Μια συνάρτηση f: Rⁿ®R λέγεται άρτια αν f(x) = f(-x) για κάθε x. Αν η είναι επίσης διαφορίσιμη να υπολογίσετε το gradf(0).[Υπόδειξη] [Λύση]

3. Υποθέτουμε ότι το υψόμετρο ενός  βουνού στο σημείο (x, y) δίνεται από τον τύπο

f(x, y) = 10.000-2x²-3y².

Στο σημείο (2, 3) προς ποιά κατεύθυνση αυξάνει γρηγορότερα το υψόμετρο; Αν  σ΄αυτο το σημείο αφήσουμε μια μπάλλα προς ποιά κατεύθυνση θα κινηθεί;[Υπόδειξη] [Λύση]

[Περιεχόμενα]