Έστω g μια συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση τριων μεταβλητών και f μια συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο ανοικτό U το οποίο περιέχει την επιφάνεια g(X)=0. Θέλουμε να βρούμε τα σημεία Ρ πάνω στην επιφάνεια g(X)=0 στα οποία η f έχει ακρότατο.

Θεώρημα: Έστω S το σύνολο των σημείων Χ που ικανοποιούν g(X)=0 και gradg(X)0. Aν το Ρ είναι ένα σημείο στο οποίο η f ακρότατο στο S τότε υπάρχει πραγματικός λ τ.ω.

gradf(P) = λgradg(P).

Aυτό σημαίνει ότι για να βρούμε τα ακρότατα της f πρέπει να βρούμε όλα τα σημεία που ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση και μετα να συγκρίνουμε τις τιμές της f σ΄αυτά τα σημεία. Αν υπάρχει πεπερασμένος αριθμός σημείων Χ με gradg(X)=0 τότε συγκρίνουμε τις τιμές της f σ΄αυτά τα σημεία με αυτές που βρήκαμε προηγουμένως.

Τα παραπάνω ισχύουν και για n μεταβλητές.

Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε το ελάχιστο της συνάρτησης f(x,y) = xy πάνω στο σύνολο x-y=1. [Λύση]

2. Να βρείτε τις διαστάσεις κυλινδρικού δοχείου με καπάκι που έχει την ελάχιστη δυνατή επιφάνεια και χωράει ακριβώς ένα λίτρο νερού. [Λύση]

3. Να ευρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f(x,y,z) = x²-y+z με τους περιορισμούς x²+y²=1/4 και x-z=1. [Λύση]

[Περιεχόμενα]