Θα αποδείξουμε πρώτα ότι αν η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιμη στην κλειστή και φραγμένη περιοχή Α και

για κάθε (x, y, z) στην Α, τότε

Πράγματι, επειδή f £ |f | £ M και -f £ |f | £ M, από το θεώρημα 3 του κεφαλαίου 2 (το οποίο όπως έχουμε σημειώσει ισχύει και για τα τριπλά ολοκληρώματα, [Μετάβαση] σ΄αυτό) έχουμε

Έστω τώρα ότι η f είναι συνεχής. Ορίζουμε φ(x, y, z) = f(x, y, z) – f(a, b, c). Tότε

Από την συνέχεια της f στο (a, b, c) έχουμε

που σημαίνει ότι για ε > 0 υπάρχει δ > 0 τ.ω.

[Επιστροφή]