Έστω Δ το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο a £ x £ b, c £ y £ d στο επίπεδο και f : D ® R μια φραγμένη συνάρτηση (δηλαδή |f(x, y)| £ M για κάθε (x, y) στο Δ).

Έστω Π₁ = {a = x₀ ,x₁,...,x_k = b} μια διαμέριση του [a, b] και Π₂ = {a = x₀ ,x₁,...,x_s = b} μια διαμέριση του [c, d]. Το σύνολο των τετραγώνων [x_i, x_i+1][y_j, y_j+1] θα λέγεται διαμέριση του Δ και θα συμβολίζεται με Ρ = Π₁ Π₂.

Έστω m_ij = inf{f(x, y) : x[x_i, x_i+1] και y[y_j, y_j+1]} και Μ_ij = sup{f(x, y) : x[x_i, x_i+1] και y[y_j, y_j+1]}. Όπως στην περίπτωση των συναρτήσεων μιας μεταβλητής ορίζουμε το κάτω και το άνω άθροισμα της f ως προς την διαμέριση Ρ ως εξής:

Η f θα λέγεται ολοκληρώσιμη στο Δ αν υπάρχει μοναδικός αριθμός Ο τ.ω.

L(f, P) £ O £ U(f, Q)

για όλες τις διαμερίσεις P, Q του Δ.

Αν η f είναι ολοκληρώσιμη, ο αριθμός Ο θα λέγεται ολοκλήρωμα της f στο Δ και θα συμβολίζεται με

Θεώρημα 1: Αν η f είναι συνεχής στο Δ τότε είναι ολοκληρώσιμη στο Δ.

Θεώρημα 2: Αν η f είναι φραγμένη και συνεχής στο Δ εκτός ίσως από τα σημεία που βρίσκονται πάνω σε ένα πεπερασμένο αριθμό από καμπύλες, τότε είναι ολοκληρώσιμη. [Mετάβαση στο κεφ. 5]

Θεώρημα 3: Έστω ότι οι f, g είναι ολοκληρώσιμες στο Δ και α, β είναι πραγματικοί. Τότε

1. Η αf + βg είναι ολοκληρώσιμη.

2.

3. Αν f £ g τότε     ([Επιστροφή] στην άσκηση 3 κεφ.5)

Διαδοχικά ολοκληρώματα

Θεώρημα 4: Έστω Δ = [a, b][c, d] και f μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο Δ. Αν για κάθε x στο [a, b] το ολοκλήρωμα

Έστω Α μια φραγμένη περιοχή στο επίπεδο, Δ ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που την περιέχει. και f μια συνάρτηση ορισμένη στην Α. Oρίζουμε

Έτσι, αν η f_A είναι ολοκληρώσιμη στο Δ, μπορούμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα της f στο Α ως εξής:

Όταν η περιοχή Α περιγράφεται από τις ανισότητες a £ x £ b , γ(x) £ y £ δ(x) με τις φ, δ λείες συναρτήσεις τότε έχουμε:

Θεώρημα 5: Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f στην παραπάνω περιοχή είναι

1. Nα υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

   [Λύση]

2. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y) = x²y² πάνω στην περιοχή Γ που περιγράφεται από την ανισότητα |x| + |y| £ 1. [Λύση]

3. Nα υπολογισθεί το εμβαδόν της περιοχής μεταξύ του άξονα των x και της y = x² από x = 0 έως x = 1. [Λύση]

[Περιεχόμενα]