KEΦΑΛΑΙΟ 5
TO TΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
Η διαδικασία ορισμού του τριπλού ολοκληρώματος είναι όμοια με αυτήν του διπλού ολοκληρώματος. Ξεκινάμε με ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Δ στο R3 :
Δ = [α, β]
[γ, δ]
[ε, ζ],
δηλαδή το σύνολο των σημείων (x, y, z) στο R3 με
α £ x £ β, γ £ y £ δ, ε £ z £ ζ,
και μια συνάρτηση f : Δ ® R η οποία είναι φραγμένη στο Δ.
Έστω Π1 ={α
= x0 < x1... < xn = β}
μια διαμέριση
του [α, β], Π2
= {γ = y0 < y1...
< ym = δ} μια
διαμέριση του [γ, δ] και Π3
={ε = z0 < z1...
< zs = ζ} μια
διαμέριση του [ε,
ζ]. Μια διαμέριση
του Δ,
συμβολιζόμενη με Ρ = Δ1
Δ2
Δ3 , αποτελείται
από όλα τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα της
μορφής Δijk
= [xi-1, xi]
[yj-1, yj]
[zk-1, zk], i = 1,..., n, j = 1,..., m, k = 1,..., s.
Έστω mijk = inf{f(x, y, z) : (x, y, z)
Δijk} και
Μijk = sup{{f(x, y, z) : (x, y, z)
Δijk}.
Όπως στην περίπτωση των
συναρτήσεων μιας μεταβλητής ορίζουμε το κάτω
και το άνω άθροισμα της
f ως προς την διαμέριση Ρ ως εξής:
όπου vol (Δijk) ο όγκος του Δijk.
Η f θα λέγεται ολοκληρώσιμη στο Δ αν υπάρχει μοναδικός αριθμός Ο τ.ω.
L(f, P) £ O £ U(f, Q)
για όλες τις διαμερίσεις P, Q του Δ.
Αν η f είναι ολοκληρώσιμη, ο αριθμός Ο θα λέγεται ολοκλήρωμα της f στο Δ και θα συμβολίζεται με
Στο διπλό ολοκλήρωμα είδαμε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ εκτός ίσως από ένα πεπερασμένο αριθμό από καμπύλες τότε είναι ολοκληρώσιμη. Στο τριπλό ολοκλήρωμα έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα αν αντικαταστήσουμε τις καμπύλες με επιφάνειες. (δείτε τα θεωρήματα στο κεφάλαιο 2 [Mετάβαση στο κεφ. 2]).
Ομοίως μπορούμε να υπολογίσουμε ένα τριπλό ολοκλήρωμα με την χρήση επάλληλων ολοκληρωμάτων:
Θεώρημα: Έστω γ, δ : [α,
β] ® R δύο
λείες συναρτήσεις τ.ω.
γ(x) £ δ(x)
,x [α,
β] και ε, ζ δύο πραγματικές λείες
συναρτήσεις ορισμένες
στο σύνολο των (x, y)
R2 με
α £ x £ β, γ(x) £ y £ δ(x).
Έστω Α το σύνολο των σημείων (x, y, z) στο R3 τ.ω.
α £ x £ β, γ(x) £ y £ δ(x) και ε(x) £ z £ ζ(x)
και f: A ® R μια συνεχής συνάρτηση. Τότε
Ασκήσεις
1. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
με Δ = [0, 2]
[0, 2]
[0, 2]. [Λύση]
2. Βρείτε τον όγκο της περιοχής που περικλείεται μεταξύ των
z = x2 + 3y2 και z = 12 – 2x2. [Λύση]
3. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση, Βε η μπάλλα με κέντρο το σημείο (a, b, c) και ακτίνα ε > 0 και Vol(Βε) ο όγκος της. Να αποδείξετε ότι
[Λύση]
4. Nα υπολογίσθεί ο όγκος της περιοχής που περικλείεται μεταξύ των
x2 + y2 = 2, x + y + z = 4, z = 0 . [Λύση]