Η διαδικασία ορισμού του τριπλού ολοκληρώματος είναι όμοια με αυτήν του διπλού ολοκληρώματος. Ξεκινάμε με ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Δ στο R³ :

Δ = [α, β] [γ, δ] [ε, ζ],

δηλαδή το σύνολο των σημείων (x, y, z) στο R³ με

α £ x £ β,     γ £ y £ δ,    ε £ z £ ζ,

και μια συνάρτηση f : Δ ® R η οποία είναι φραγμένη στο Δ.

Έστω Π₁ ={α = x₀ < x₁... < x_n = β} μια διαμέριση του [α, β], Π₂ = {γ = y₀ < y₁... < y_m = δ} μια διαμέριση του [γ, δ] και Π₃ ={ε = z₀ < z₁... < z_s = ζ} μια διαμέριση του [ε, ζ]. Μια διαμέριση του Δ, συμβολιζόμενη με Ρ = Δ₁ Δ₂ Δ₃ , αποτελείται από όλα τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα της μορφής Δ_ijk = [x_i-1, x_i] [y_j-1, y_j] [z_k-1, z_k], i = 1,..., n, j = 1,..., m, k = 1,..., s.

Έστω m_ijk = inf{f(x, y, z) : (x, y, z) Δ_ijk} και Μ_ijk = sup{{f(x, y, z) : (x, y, z) Δ_ijk}. Όπως στην περίπτωση των συναρτήσεων μιας μεταβλητής ορίζουμε το κάτω και το άνω άθροισμα της f ως προς την διαμέριση Ρ ως εξής:

όπου vol (Δ_ijk) ο όγκος του Δ_ijk.

Η f θα λέγεται ολοκληρώσιμη στο Δ αν υπάρχει μοναδικός αριθμός Ο τ.ω.

L(f, P) £ O £ U(f, Q)

για όλες τις διαμερίσεις P, Q του Δ.

Αν η f είναι ολοκληρώσιμη, ο αριθμός Ο θα λέγεται ολοκλήρωμα της f στο Δ και θα συμβολίζεται με

Στο διπλό ολοκλήρωμα είδαμε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ εκτός ίσως από ένα πεπερασμένο αριθμό από καμπύλες τότε είναι ολοκληρώσιμη. Στο τριπλό ολοκλήρωμα έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα αν αντικαταστήσουμε τις καμπύλες με επιφάνειες. (δείτε τα θεωρήματα στο κεφάλαιο 2 [Mετάβαση στο κεφ. 2]).

Ομοίως μπορούμε να υπολογίσουμε ένα τριπλό ολοκλήρωμα με την χρήση επάλληλων ολοκληρωμάτων:

Θεώρημα: Έστω γ, δ : [α, β] ® R δύο λείες συναρτήσεις τ.ω. γ(x) £ δ(x) ,x [α, β] και ε, ζ δύο πραγματικές λείες συναρτήσεις ορισμένες στο σύνολο των (x, y) R² με

α £ x £ β,         γ(x) £ y £ δ(x).

Έστω Α το σύνολο των σημείων (x, y, z) στο R³ τ.ω.

α £ x £ β,     γ(x) £ y £ δ(x)     και     ε(x) £ z £ ζ(x)

και f: A ® R μια συνεχής συνάρτηση. Τότε

Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

    με Δ = [0, 2] [0, 2] [0, 2]. [Λύση]

2. Βρείτε τον όγκο της περιοχής που περικλείεται μεταξύ των

           z = x² + 3y² και z = 12 – 2x². [Λύση]

3. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση, Β_ε η μπάλλα με κέντρο το σημείο (a, b, c) και ακτίνα ε > 0 και Vol(Β_ε) ο όγκος της. Να αποδείξετε ότι

4. Nα υπολογίσθεί ο όγκος της περιοχής που περικλείεται μεταξύ των

          x² + y² = 2, x + y + z = 4, z = 0 . [Λύση]

[Περιεχόμενα]