KEΦΑΛΑΙΟ 5

 

TO TΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

 

Η διαδικασία ορισμού του τριπλού ολοκληρώματος είναι όμοια με αυτήν του διπλού ολοκληρώματος. Ξεκινάμε με ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Δ στο R3 :

Δ = [α, β] [γ, δ] [ε, ζ],

δηλαδή το σύνολο των σημείων (x, y, z) στο R3 με

α £ x £ β,     γ £ y £ δ,    ε £ z £ ζ,

και μια συνάρτηση f : Δ ® R η οποία είναι φραγμένη στο Δ.

Έστω Π1 ={α = x0 < x1... < xn = β} μια διαμέριση του [α, β], Π2 = {γ = y0 < y1... < ym = δ} μια διαμέριση του [γ, δ] και Π3 ={ε = z0 < z1... < zs = ζ} μια διαμέριση του [ε, ζ]. Μια διαμέριση του Δ, συμβολιζόμενη με Ρ = Δ1 Δ2 Δ3 , αποτελείται από όλα τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα της μορφής Δijk = [xi-1, xi] [yj-1, yj] [zk-1, zk], i = 1,..., n, j = 1,..., m, k = 1,..., s.

Έστω mijk = inf{f(x, y, z) : (x, y, z) Δijk} και Μijk = sup{{f(x, y, z) : (x, y, z) Δijk}. Όπως στην περίπτωση των συναρτήσεων μιας μεταβλητής ορίζουμε το κάτω και το άνω άθροισμα της f ως προς την διαμέριση Ρ ως εξής:

όπου vol (Δijk) ο όγκος του Δijk.

Η f θα λέγεται ολοκληρώσιμη στο Δ αν υπάρχει μοναδικός αριθμός Ο τ.ω.

L(f, P) £ O £ U(f, Q)

για όλες τις διαμερίσεις P, Q του Δ.

Αν η f είναι ολοκληρώσιμη, ο αριθμός Ο θα λέγεται ολοκλήρωμα της f στο Δ και θα συμβολίζεται με

Στο διπλό ολοκλήρωμα είδαμε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ εκτός ίσως από ένα πεπερασμένο αριθμό από καμπύλες τότε είναι ολοκληρώσιμη. Στο τριπλό ολοκλήρωμα έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα αν αντικαταστήσουμε τις καμπύλες με επιφάνειες. (δείτε τα θεωρήματα στο κεφάλαιο 2 [Mετάβαση στο κεφ. 2]).

Ομοίως μπορούμε να υπολογίσουμε ένα τριπλό ολοκλήρωμα με την χρήση επάλληλων ολοκληρωμάτων:

Θεώρημα: Έστω γ, δ : [α, β] ® R δύο λείες συναρτήσεις τ.ω. γ(x) £ δ(x) ,x [α, β] και ε, ζ δύο πραγματικές λείες συναρτήσεις ορισμένες στο σύνολο των (x, y) R2 με

α £ x £ β,         γ(x) £ y £ δ(x).

Έστω Α το σύνολο των σημείων (x, y, z) στο R3 τ.ω.

α £ x £ β,     γ(x) £ y £ δ(x)     και     ε(x) £ z £ ζ(x)

και f: A ® R μια συνεχής συνάρτηση. Τότε

Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

    με Δ = [0, 2] [0, 2] [0, 2]. [Λύση]

2. Βρείτε τον όγκο της περιοχής που περικλείεται μεταξύ των

           z = x2 + 3y2 και z = 12 – 2x2. [Λύση]

3. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση, Βε η μπάλλα με κέντρο το σημείο (a, b, c) και ακτίνα ε > 0 και Vol(Βε) ο όγκος της. Να αποδείξετε ότι

[Λύση]

4. Nα υπολογίσθεί ο όγκος της περιοχής που περικλείεται μεταξύ των

          x2 + y2 = 2, x + y + z = 4, z = 0 . [Λύση]

 

[Περιεχόμενα]