Λύση

Ορίζουμε $h:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ με $h(x)=g(x)-f(x)$. Η $h$ είναι συνεχής, άρα: Το $\{x:f(x)<g(x)\}=\{x:h(x)>0\}=h^{-1}((0, +\infty))$ είναι ανοικτό, αφού $(0, +\infty)$ ανοικτό. Το $\{x:f(x)\leq g(x)\}=\{x:h(x)\geq 0\}= h^{-1}([0, +\infty))$ είναι κλειστό, αφού $[0, +\infty)$ κλειστό. Το $\{x:f(x)=g(x)\}=\{x: h(x)=0\}=h^{-1}(\{ 0\})$ είναι κλειστό, αφού $\{ 0\}$ κλειστό. Άσκηση 3 Υπόδειξη