Λύση

Η $f$ έχει την ακόλουθη ιδιότητα: αν $P:[0, 1] \rightarrow \mathbb R$ είναι οποιοδήποτε πολυώνυμο, τότε $\int ^1 _0 f(t)P(t)dt =0$. Πράγματι, αν $P(t)=\alpha _0 + \alpha _1t + \cdots + \alpha _nt^n$ τότε από την υπόθεση

$$\begin{eqnarray*} \int ^1 _0 f(t)P(t)dt &=& \int ^1_0 f(t)(\alpha _0 + \alpha _1... ...1_0 f(t)t^1d + \cdots + \alpha _n \int ^1_0f(t)t^n dt \\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$

Έστω τώρα $\varepsilon >0$. Υπάρχει πολυώνυμο $P:[0, 1] \rightarrow \mathbb R$ ώστε $\vert f(t)-P(t)\vert<\varepsilon$ για κάθε $t\in [0, 1]$. Γράφουμε:

$$\begin{eqnarray*} \int ^1_0 f^2(t)dt &=& \int ^1_0f(t)\{ P(t) + f(t)-P(t) \}dt \... ...f(t)-P(t)\vert dt \leq \varepsilon \int ^1_0 \vert f(t)\vert dt \end{eqnarray*}$$

Αφού το $\varepsilon >0$ ήταν τυχόν, έπεται οτι $\int ^1_0f^2(t)dt=0$. Αφού η $f$ είναι συνεχής στο $[0,1]$, παίρνουμε $f=0$ (γιατί ?)

Άσκηση 1 Υπόδειξη