Λύση

Ορίζουμε $g:[0, 1]\rightarrow \mathbb R$ με $g(t)=f\left(\frac{1}{t}\right)$ αν $0<t\leq 1$ και $g(0)= \lim _{t\rightarrow 0^+} f \left(\frac{1}{t}\right) =\lim _{x \rightarrow + \infty} f (x)$. Η $g$ είναι συνεχής στο $[0,1]$ (γιατί ?), οπότε από το Θεώρημα του Weierstrass υπάρχει πολυώνυμο $P:[0, 1] \rightarrow \mathbb R$ ώστε

$$\vert g(t)-P(t)\vert\leq \varepsilon \ ,\ t\in [0, 1]$$

Θέτουμε $Q(x)=P\left(\frac{1}{x} \right)\ ,\ x\geq 1$. Τότε

$$\vert f(x)-Q(x)\vert=\vert \underbrace{g\left(\frac{1}{x}\rig... ...1}{x}\right)}_{t\in (0, 1]} \vert \leq \varepsilon \ ,\ x\geq 1$$

Άσκηση 2 Υπόδειξη