Λύση

Ορίζουμε $g:[0, 1]\rightarrow \mathbb R$ με $g(t)=f\left( ln\left(\frac{1}{t}\right) \right)\ ,\ 0<t\leq$ και $g(0)=\lim_{t\rightarrow 0^+} f\left( ln\left(\frac{1}{t}\right) \right)=\lim _{x\rightarrow +\infty } f(x)$. Η $g$ είναι συνεχής στο $[0,1]$ (γιατί ?), οπότε από το Θεώρημα Weierstrass αν μας δώσουν $\varepsilon >0$ υπάρχει πολυώνυμο $P:[0, 1] \rightarrow \mathbb R$ ώστε

$$\vert g(t)-P(t)\vert\leq \varepsilon \ ,\ t\in [0, 1] .$$

Θέτουμε $Q(x)=P(e^{-x})\ ,\ x\geq 0$. Τότε

$$\vert f(x)-Q(x)\vert=\vert \underbrace {g(e^{-x})-P(e^{-x} )}_{t\in (0, 1]} \vert \leq \varepsilon \ ,\ x\geq 0 .$$

Άσκηση 3 Υπόδειξη