Σειρές συναρτήσεων

Ορισμός 40   Έστω ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων $\{ f_n\}$ oρισμένων σε μη κενό υποσύνολο $A$, $f_n:A\rightarrow \mathbb R\ ,\ n\in \mathbb N$. Θεωρούμε το άρθροισμα $s_n$ των πρώτων $n$ από αυτές:

${s_n}=f_1 + f_2 + \cdots +f_n\ :\ A \rightarrow \mathbb R$, δηλαδή

${s_n}(t) = f_1(\epsilon)+f_2(t)+ \cdots +f_n(t), \ t \in A$

Αν υπάρχει συνάρτηση $s:A \rightarrow \mathbb R$ ώστε $s_n \rightarrow s$ στο $A$, τότε λέμε οτι η σειρά $\sum^\infty _{k=1} f_k \hbox{συγκλίνει κατά σημείο}$ στην $s$ στο $A$ και γράφουμε $\sum^\infty_{k=1} f_k \stackrel{\hbox{\footnotesize κ.σv.}}{=} s$ στο $A$. Αν όμως $s_n \rightrightarrows s$ τότε λέμε οτι η σειρά $\sum^\infty _{k=1} f_k\ \hbox{συγκλίνει ομοιόμορφα}$ στην $s$ στο $A$ και γράφουμε $\sum^\infty _{k=1} f_k \sum ^ \infty _{k=1} f_k \stackrel{\hbox{\footnotesize ο.μ.}}{=}$ στο $A$.

Επομένως η σύγκλιση σειρών συναρτήσεων ανάγεται σε σύγκλιση ακολουθιών συναρτήσεων.

Πρόταση 41   Αν $\sum^\infty _{k=1} f_n \stackrel{\hbox{\footnotesize ο.μ.}}{=}s$ στο $A$, τότε $\sum^\infty_{k=1} f_n \stackrel{\hbox{\footnotesize κ.σv.}}=s$ στο $A$.

Πρόταση 42 (Κριτήριο Cauchy)   $\sum^\infty _{k=1} f_n \stackrel{\hbox{\footnotesize ο.μ.}}{=}s$ στο $A$ αν και μόνο αν ισχύει το εξής: για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $n_0 =n_0(\varepsilon )\in \mathbb N$ ώστε: $n_0 \leq m <n \ \Rightarrow\ \vert f_{m+1}(t) + \cdots + f_n(t)\vert\ \varepsilon \ \forall\ t \in A.$

Θεώρημα 43 (Κριτήριο Weierstrass)   Αν $\sup_{t \in A} \vert f_n(t)\vert \leq M_n$ (δηλαδή το $M_n$ είναι άνω φράγμα της $\vert f_n\vert$) και η σειρά αριθμών $\sum ^\infty _{n=1} M_n$ συγκλίνει, τότε η $\sum ^\infty _{n=1} f_k$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο $A$.

Η οριακή συνάρτηση μιας ομοιόμορφα συγκλίνουσας σειράς συναρτήσεων διατηρεί διάφορες ιδιότητες της ακολουθίας:

Θεώρημα 44   . Έστω μετρικός χώρος $(X, r)$ και $A\subseteq X$. Ακόμη έστω $\sum ^\infty _{k=1} f_k \ \stackrel{\hbox{\footnotesize ο.μ.}}{=} s$ στο $A$. Πιο γενικά, αν όλες οι $f_n$ είναι συνεχείς σε κάποιο $t_0 \ \in \ A$ τότε και η $s$ είναι συνεχής στο $t_0$.

Θεώρημα 45   Έστω $\sum ^\infty _{k=1} f_k \ \stackrel{\hbox{\footnotesize ο.μ.}}{=} s$ στο $[a, b]$ και οτι όλες οι $f_n$ είναι $R-$ολοκληρώσιμες στο $[a, b]$. Τότε η $s$ είναι επίσης $R-$ολοκληρώσιμη στο $[a, b]$ και $\int ^b _a s = \sum ^\infty _{k=1} (\int^b _a f_k).$

Θεώρημα 46   . Έστω $f_k:[\alpha, b] \rightarrow \mathbb R, \ k \in \mathbb N$, παραγωγίσιμη στο $[\alpha , b]$ και με $f^\prime _k$ συνεχή στο $[\alpha , b]$. Αν (α)     $\sum^\infty _{k=1} f^\prime _k \stackrel{\hbox{\footnotesize ο.μ.}}{=} g$ στο $[a, b]$ και
(β)     η $\sum^\infty _{k=1} f_k (t_0)$ συγκλίνει για κάποιο $t_o\ \in \ [a, b]$ τότε η $\sum^\infty _{k=1} f_k$ συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση $s$ στο $[a, b]$, η $s$ είναι παραγωγίσιμη στο $[a, b]$ και $s^\prime = g$.