Λύση

Θέτουμε $f_k(t)= \frac{t}{k^\alpha (1+kt^2)}$. Τότε,

$$f^\prime _k (t)=\frac{1}{k^\alpha} \frac{1+kt^2 -2kt^2}{(1+kt^2)^2} = \frac{1-kt^2}{k^\alpha (1+kt^2)^2} .$$

Η $f_k$ παίρνει μέγιστη τιμή στο $(0, +\infty)$ όταν $t=\frac{1}{\sqrt{k}}$ και $f_k \left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right) = \frac{1}{2k^{\alpha + \frac{1}{2}}}$. Αφού η $f_n$ είναι περιττή συνάρτηση, έπεται οτι

$$\vert f_k(t)\vert \leq \frac{1}{2k^{\alpha + \frac{1}{2}}}\ ,\ k=1, 2, \ldots , t\in \mathbb R.$$

Έχουμε $\alpha >\frac{1}{2}$, άρα η $\sum ^\infty _{k=1} \frac{1}{2k^{\alpha + \frac{1}{2}}}$ συγκλίνει ($p$-σειρά με $p=\alpha +\frac{1}{2}>1$). Από το κριτήριο του Weierstrass έπεται οτι η $\sum ^\infty _{k=1}f_k(t)= \sum ^\infty _{k=1} \frac{t}{k^\alpha (1+kt^2)}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο $\mathbb R$.

Άσκηση 6 Υπόδειξη