Λύση

$\sum^\infty _{k=0} (1-x)x^k$: Υπολογίζουμε το μερικό άθροισμα

$$s_n(x)=\sum ^n _{k=0} (1-x)x^k=(1-x)(1+x+\cdots +x^n)=1-x^{n+1}$$

αν $0\leq x <1$ και $s_n(1)=0$. Άρα,

$$s_n(x)\rightarrow s(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 1, & 0\leq x<1 \\ 0, & x=0 \end{array}\right.$$

Αφού η $s$ δεν είναι συνεχής στο $0$, η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη.

$$\sum ^\infty _{k=0} (-1)^kx^k(1-x)= (1-x) \frac{1-(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x} = \frac{1-x}{1+x}(1+(-1)^n x^{n+1}) .$$

Αν $0\leq x <1$, τότε $x^{n+1}\rightarrow 0$, άρα $s_n(x)\rightarrow \frac{1-x}{1+x}$. Αν $x=1$, τότε $s_n(1)=0 \rightarrow 0=\frac{1-1}{1+1}$. Άρα, $\sum ^\infty _{k=0} (-1)^kx^k(1-x)=\frac{1-x}{1+x}\ ,\ x\in [0, 1]$. Για να δείξουμε οτι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη, θεωρούμε την διαφορά

$$\Bigm\vert s_n(x)-\frac{1-x}{1+x}\Bigm\vert=\Bigm\vert\frac{1... ...+1}\Bigm\vert =\frac{x^{n+1}-x^{n+2}}{1+x} \leq x^{n+1}-x^{n+2}$$

Βρίσκουμε το $\max _{x\in [0, 1]} (x^{n+1}-x^{n+2}):$ η παράγωγος είναι $(n+1)x^n - (n+2)x^{n+1}$, άρα το μέγιστο πιάνεται στο $x_0=\frac{n+1}{n+2}$ και είναι ίσο με $\left(\frac{n+1}{n+2}\right) ^{n+1} [1-\frac{n+1}{n+2}] < \frac{1}{n+2}$.

Άρα,

$$\max _{x\in [0, 1]} \Bigm\vert s_n(x)-\frac{1-x}{1+x}\Bigm\vert \leq \max _{x\in[0, 1]} (x^{n+1} - x^{n+2})<\frac{1}{n+2}$$

Οπότε,

$$s_n(x) \stackrel{\hbox{\footnotesize ο.μ.}}{\longrightarrow } \frac{1-x}{1+x}$$

Άσκηση 3 Υπόδειξη