Πρόταση 55
(α) (Ολοκλήρωση κατά μέρη) Αν οι
![$f, g$](img1069.gif)
έχουν συνεχή παράγωγο στο
![$[a,b)$](img54.gif)
τότε
(β) (Αλλαγή μεταβλητής). Αν η
![$t=t(s):[a ^{\prime}, b^{\prime})
\stackrel{\hbox{επί}}{\longrightarrow} [a, b)$](img1071.gif)
είναι γνησίως αύξουσα και έχει συνεχή παράγωγο
τότε
Ορισμός 56
Έστω συνάρτηση
![$f:[a, b)\cup(b, c] \rightarrow \mathbb R$](img1073.gif)
είναι
![$R-$](img916.gif)
ολοκληρώσιμη σε
κάθε διάστημα
![$[a, d],\ a \leq d<b$](img1074.gif)
και σε κάθε διάστημα
![$[d, c],\ b<d \leq c$](img1075.gif)
.
Ονομάζουμε
![$\hbox{πρωτεύουσα τιμή}$](img1076.gif)
(principal value) του γενικευμένου ολοκληρώματος
![$\int ^c_a f$](img1050.gif)
τον αριθμό (αν υπάρχει)
και τον συμβολίζουμε με
![$P.V. \int ^c _a f$](img1078.gif)
.
Είναι δυνατόν να μην υπάρχει το γενικευμένο ολοκλήρωμα αλλά να υπάρχει η πρωτεύουσα τιμή του. Για παράδειγμα, έστω
![$f(t)= \frac{1}{t}$](img1079.gif)
στο
![$[-1, 0) \cup (0, 1]$](img1080.gif)
.
Το γενικευμένο ολοκλήρωμα
![$\int^1 _{-1} \frac{1}{t}dt$](img1081.gif)
δεν υπάρχει αλλά