Γενικευμένα ολοκληρώματα για γενικές συναρτήσεις

Ορισμός 53   Λέμε οτι το $\int ^b _a f \hbox{συγκλίνει απολύτως}$ αν το $\int ^b_a \vert f\vert$ συγκλίνει. Λέμε οτι το $\int ^b _a \ \hbox{συγκλίνει υπό συνθήκη (ή καταχρηστικά)}$ αν το $\int ^b _a f$ συγκλίνει αλλά όχι απολύτως. Αν το $\int ^b _a f$ συγκλίνει απολύτως τότε συγκλίνει.

Θεώρημα 54 (σύγκριση ολοκληρωμάτων)   Έστω $f, g:[a, b) \rightarrow \mathbb R$ όπου $g(t)\geq$ στο $[a,b)$. Αν υπάρχει αριθμός $M$ ώστε $\vert f(t)\vert\leq M \cdot g(t)$ για $t\ \in [a, b)$ τότε αν το $\int ^b _a g$ συγκλίνει, τότε το $\int ^b _a f$ συγκλίνει απολύτως.

Πρόταση 55   (α)    (Ολοκλήρωση κατά μέρη) Αν οι $f, g$ έχουν συνεχή παράγωγο στο $[a,b)$ τότε $\int ^b _a f^{\prime}(t)dt=\lim_{c \rightarrow b^-} (f(c) g(c))-f(a)g(a)- \int_a ^bf(t)g^{\prime}(t)dt$
(β)     (Αλλαγή μεταβλητής). Αν η $t=t(s):[a ^{\prime}, b^{\prime}) \stackrel{\hbox{επί}}{\longrightarrow} [a, b)$ είναι γνησίως αύξουσα και έχει συνεχή παράγωγο τότε

$$\int ^b_a f(t)dt= \int ^{b^{\prime}} _{a ^\prime} f(t(s)) t^{\prime} (s)ds$$

Ορισμός 56   Έστω συνάρτηση $f:[a, b)\cup(b, c] \rightarrow \mathbb R$ είναι $R-$ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημα $[a, d],\ a \leq d<b$ και σε κάθε διάστημα $[d, c],\ b<d \leq c$. Ονομάζουμε $\hbox{πρωτεύουσα τιμή}$ (principal value) του γενικευμένου ολοκληρώματος $\int ^c_a f$ τον αριθμό (αν υπάρχει)

$$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{ \biggl (} \int ^{b-\varepsilon} _a f +\int ^c _{b+\varepsilon} f{\biggr )}$$

και τον συμβολίζουμε με $P.V. \int ^c _a f$. Είναι δυνατόν να μην υπάρχει το γενικευμένο ολοκλήρωμα αλλά να υπάρχει η πρωτεύουσα τιμή του. Για παράδειγμα, έστω $f(t)= \frac{1}{t}$ στο $[-1, 0) \cup (0, 1]$. Το γενικευμένο ολοκλήρωμα $\int^1 _{-1} \frac{1}{t}dt$ δεν υπάρχει αλλά

$$\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}{ \biggl (} \int^{-\varepsilo... ... \frac{1}{t}dt+\int ^1 _\varepsilon \frac{1}{t}dt)=0{\biggr )}.$$

Πρόταση 57   Αν το γενικευμένο ολοκλήρωμα $\int ^c_a f$ υπάρχει τότε και η πρωτεύουσα τιμή του υπάρχει και έχουν την ίδια τιμή.