Γενικευμένα ολοκληρώματα με παράμετρο

Έστω συνάρτηση $f(t, x)$, όπου $t\ \in [a, b]$ και το $x$ ανήκει σε κάποιο διάστημα $I$. Θα ολοκληρώνουμε ως προς $t$ και το $x$ θα παίζει τον ρόλο της παραμέτρου:

$$\int ^b_a f(t, x)dt\ ,\ x \in I.$$

Αν για κάθε $x \in I$, το γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει, τότε ορίζεται μια συνάρτηση

$$g(x)=\int^b_a f(t, x)dt\ ,\ x \in I$$

Ορισμός 58   Λέμε οτι το $\int ^b_a f(t, x)dt$ συγκλίνει στην $g(x)$ $\hbox{κατά σημείο}$ στο $I$ αν για κάθε $x \in I$, η τιμή του γενικευμένου ολοκληρώματος είναι $g(x)$ ή ισοδύναμα, για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $c_0=c_0(\varepsilon, x)\ \in \ [a\ b)$ ώστε

$$c_0 \leq c <b \Rightarrow \Bigm\vert g(x)-\int ^c_a f(t, x)dt\Bigm\vert <\varepsilon \ \forall x\in I .$$

Ορισμός 59   Λέμε οτι το $\int ^1_a f(t, x)dt$ συγκλίνει στη $g(x) \hbox{ομοιόμορφα}$ στο $I$ αν για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $c_0=c_0(\varepsilon)$ στο $[a, b]$ ώστε

$$c_0 \leq c <b \Rightarrow \Bigm\vert g(x)-\int ^c_a f(t, x)dt\Bigm\vert <\varepsilon \ \forall x\in I .$$

Είναι φανερό οτι αν το $\int ^b_a f(t, x)dt$ συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια $g(x)$ στο $I$ τότε συγκλίνει και κατά σημείο.

Η ομοιόμορφη σύγκλιση μεταφέρει στην $g$ ιδιότητες της $f$. Για παράδειγμα αν η $f(t, x)$ είναι συνεχής στο $[a, b]$ $x \in I$ και το $\int ^b_a f(t, x)dt$ συγκλίνει στην $g(x)$ ομοιόμορφα τότε και η $g$ είναι συνεχής στο $I$. Ομοίως αν $f(t, x)$ και $\frac{\partial}{\partial x} f(t, x)$ είναι συνεχείς στο $[a,b)$ $x \in I$, το $\int ^b_a f(t, x_0)dt$ συγκλίνει για $\hbox{κάποιο}\ x_0 \in I$ και το $\int ^b_a f(t, x)dt$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο $I$ σε μια συνάρτηση $h(x)$ τότε το $\int ^b_a f(t, x)dt$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο $I$ και

$$\frac{d}{dx} \biggl ( \int ^b _a f(t, x)dt \biggr )= \frac{d}{dx}g(x)=h(x)=\int ^b_a \frac{\partial}{\partial x} f(t, x)dt$$

Θεώρημα 60   Έστω $f(t, x)$ παραγματική συνάρτηση ορισμένη στο $[a,b)$ $x \in I$. Έστω οτι υπάρχει συνάρτηση $F(t)$ ορισμένη στο $[a,b)$ ώστε

$$\vert f(t, x)\vert\leq f(t)\ ,\ t \in [a\ b),\ x\in I.$$

Αν το $\int ^b_a F(t)dt$ συγκλίνει, τότε $\int ^b_a f(t, x)dt$ συγκλίνει ομοιόμορφα.