Γενικευμένα ολοκληρώματα

Έστω πραγματική συνάρτηση $f$ ορισμένη σε διάστημα $[a,b)$ όπου $a\in \mathbb R$ και $b \in \mathbb R$ η $b= +\infty$. Επιπλέον υποθέτουμε οτι για κάθε γ με $a \leq c <b$ η $f$ είναι $R-$ολοκληρώσιμη στο $[a, c]$. Αν το όριο $\lim _{c \rightarrow b^{-}} \int ^c_a f$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε λέμε οτι η $f$ έχει γενικευμένο ολοκλήρωμα στο $[a,b)$ με τιμή ίση με

$$\int ^{\rightarrow b} _a f = \lim _{c \rightarrow b^{-}} \int ^c _a f .$$

Επίσης λέμε οτι γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει. Αν το παραπάνω όριο είναι $+\infty$ ή $-\infty$ λέμε οτι το γενικευμένο ολοκλήρωμα αποκλίνει. Βέβαια αν η $f: [a, b] \rightarrow \mathbb R$ είναι $R-$ολοκληρώσιμη τότε έχει γενικευμένο ολοκλήρωμα και

$$\int ^{\rightarrow b} _a f = \int ^b _a f .$$

Τα ίδια ισχύουν όταν η $f$ είναι στο $(a, b]$ οπότε το γενικευμένο της ολοκλήρωμα (όταν υπάρχει) είναι το $\int ^b _a f = \lim _{c \rightarrow a^+} \int ^b _c g$. Στην περίπτωση που η $f$ είναι ορισμένη μόνο στο $(a,b)$ και ορίζουμε το γενικευμένο ολοκλήρωμα της $f$ στο $(a,b)$ ως το

$$\int ^{\rightarrow b}_{a \leftarrow} f = \int ^\delta _{a \leftarrow}f + \int ^{\rightarrow b}_\delta f.$$

Αν όμως ένα από αυτά τα δύο ολοκληρώματα αποκλίνει τότε λέμε οτι το γενικευμένο ολοκλήρωμα της $f$ στο $(a,b)$ αποκλίνει. Πάλι είναι εύκολο να δει κανείς οτι όταν η $f$ ορίζεται και είναι ολοκληρώσιμη σε όλο το $[a, b]$ τότε

$$\int ^{\rightarrow b} _{a \leftarrow} f=\int ^b _a f.$$

Ανάλογο χειρισμό κάνουμε για μια $f$ που ορίζεται σε ένα διάστημα $(a,b)$ εκτός από πεπερασμένο πλήθος σημείων $\xi_1, \ldots , \xi_n\ \in\ (a, b):$ το γενικευμένο ολοκλήρωμα της $f$ ισούται με

$$\int ^{\rightarrow \xi_1} _{a _\leftarrow} f + \sum ^{n-1} _{... ... \leftarrow} f + \int ^ {\rightarrow b} _{\xi_n \leftarrow} f.$$

Δεδομένου οτι όταν η $f$ είναι $R-$ολοκληρώσιμη στο $[a, b]$ (και ορίζεται παντού σε αυτό) το $R-$ολοκληρωμά της ταυτίζεται με το γενικευμένο της ολοκλήρωμα στο $(a,b)$ (ακόμη και αν αφαιρέσουμε πεπερασμένο πλήθος σημείων από το $(a,b)$) μπορούμε να καταργήσουμε τον ειδικό συμβολισμό $\int ^{\rightarrow b} _{a \leftarrow}f$ με τον συνήθη $\int ^b _a f$ και να εννοούμε με τον τελευταίο το γενικευμένο ολοκλήρωμα στην περίπτωση που η $f$ δεν ορίζεται σε ολόκληρο το $[a b]$.

Θεώρημα 50 (Cauchy)   Το $\int ^b _a f$ συγκλίνει αν και μόνο αν ισχύει το εξής: για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει

$$c _0 \leq c_1 <c_2 <b \Rightarrow \vert \int ^{c_2} _{c_1} f\vert <\varepsilon$$

Ειδικά για την περίπτωση όπου η $f$ έχει τιμές στο $[0, \infty]$ έχουμε τα ακόλουθα:

Θεώρημα 51   Έστω $f(t)\geq0$ στο $[a,b)$. Το $\int ^b _a f$ συγκλίνει αν το $\int ^c_a f$ είναι φραγμένο σαν συνάρτηση του $c$, ενώ $\int^b_a f=+\infty$ αν το $\int ^c_a f$ δεν είναι φραγμένο.

Θεώρημα 52 (ολοκληρωτικό κριτήριο σειράς)   Έστω οτι $f\!:\![1, +\infty)\rightarrow \mathbb R$ είναι μη-αρνητική και φθίνουσα προς το μηδέν καθώς $t \rightarrow +\infty$. Ορίζουμε $s(c)= \int ^c _1 f$ και $s_n = f(1)+f(2)+\cdots +f(n)$ τότε (α)     $s(n+1) \leq s_n \leq s(n)+f(1)$ και
(β)     το $\int ^{+\infty}_1 f$ συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά $\sum ^\infty _{k=1} f(k)$ συγκλίνει και $\int ^{+\infty} _1 f \leq \sum ^\infty _{k=1} f(k) \leq f(1) + \int ^{+\infty}_1 f$